0.1 课程基础与记号

动机

第 0 章建立以后每次计算都要使用的数学语言。公式只有在允许的输入已经说明时才完整；声称一个值域时，必须验证两个集合互相包含；调换量词次序，更可能把真命题变成假命题。这些并非书写上的小事，而是决定语句意思的条件。

同样的纪律也适用于有限和与有限积。指标是受约束的变量，单纯换名不改变结果；平移指标时，上下限和通项却必须一起改变。本节的目标是让记号可以逐步核查：每个符号都有清楚角色，每个函数都有定义域与陪域，每项运算都尊重这些资料。

定义

集合及其描述

定义

集合、属于关系、子集与相等

集合是由互不重复的对象组成的整体，其中的对象叫作元素或成员。$x\in A$ 表示 $x$ 属于 $A$，$x\notin A$ 表示不属于。

$A\subseteq B$ 表示 $A$ 的每个元素也是 $B$ 的元素。两个集合相等，指它们拥有完全相同的元素。

有限集合或有规律的集合可以列举，例如 $\{1,2,3\}$ 或 $\{0,1,2,3,\ldots\}$；也可以用集合构造式

$$\{x\in S:P(x)\}$$

表示 $S$ 中恰好满足性质 $P(x)$ 的元素。底集很重要：$x^2-1=0$ 在 $\mathbb R$ 有两个解，但 $\{x\in\mathbb N:x^2-1=0\}=\{1\}$。

定义

常用数集与区间

本课程采用

$$\begin{aligned} \mathbb N&:=\{0,1,2,3,\ldots\},\\ \mathbb Z&:=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\},\\ \mathbb Z^+&:=\{1,2,3,\ldots\},\\ \mathbb Q&:=\left\{\frac pq:p,q\in\mathbb Z,\ q\ne0\right\}, \end{aligned}$$

并以 $\mathbb R$ 表示实数。因此 $\mathbb Z^+\subseteq\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R$；$:=$ 表示“定义为”。

对实数 $a\lt b$，$[a,b]$ 包含两个端点，$(a,b)$ 不含端点，$(a,b]$ 只含右端点；$[a,\infty)=\{x\in\mathbb R:a\le x\}$。空集记为 $\varnothing$。

定义

集合运算

$A\cap B$ 是同时属于 $A,B$ 的元素；$A\cup B$ 是属于其中至少一个集合的元素；$A\setminus B$ 是属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素。

这些描述也准确决定韦恩图应涂哪一区域：交集保留重叠部分，并集保留两个圆内的全部点，$A\setminus B$ 只保留 $A$ 在 $B$ 外面的部分。因此集合差有方向，$A\setminus B$ 未必等于 $B\setminus A$。区间本身就是实数集合，同样可以作这些运算；例如 $x^2>1$ 的实数解既是两个开区间的并，也是闭区间 $[-1,1]$ 的补集。

逻辑与量词

定义

带量词的语句

$\forall$ 表示“对每一个”，$\exists$ 表示“至少存在一个”，$\exists!$ 表示“恰好存在一个”。$P\Rightarrow Q$ 表示 $P$ 蕴涵 $Q$；$P\Leftrightarrow Q$ 表示两个方向的蕴涵都成立。

量词须从左至右阅读。在 $\forall x\in\mathbb Z,\exists y\in\mathbb Z, x+y=0$ 中，$y$ 可以依赖已给定的 $x$；在 $\exists y\in\mathbb Z,\forall x\in\mathbb Z, x+y=0$ 中，同一个 $y$ 必须适用于所有 $x$。

唯一存在包含两个主张。要证明 $\exists!x\in S$ 满足某性质，先要找出一个确实满足性质的元素，再证明不可能有第二个。类似地，蕴涵只提供一个方向；只有正向和反向蕴涵都已成立，才可使用 $\Leftrightarrow$。

函数与反函数

定义

函数、定义域、陪域与值域

函数 $f:A\to B$ 把每个 $a\in A$ 恰好对应到一个 $f(a)\in B$。$A$ 是定义域，$B$ 是陪域；实际出现的输出组成值域

$$f(A):=\{f(x)\in B:x\in A\}.$$

公式本身不能决定函数。定义域和陪域是函数声明的一部分。改变定义域可能改变值域；固定规则和定义域时，把陪域换成另一个包含全部输出的集合，不会改变值域，但可能改变满射性以及反函数是否存在。

定义

单射、满射与双射

对 $f:A\to B$：若所有 $x_1,x_2\in A$ 都满足 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$，则 $f$ 是单射；若每个 $y\in B$ 都能写成某个 $f(x)$，则 $f$ 是满射；同时为单射和满射时称为双射。

定义

反函数

设 $f:A\to B$。若 $g:B\to A$ 满足

$$g(f(x))=x\quad(x\in A),\qquad f(g(y))=y\quad(y\in B),$$

则 $g$ 是 $f$ 的反函数。反函数一旦存在便唯一，记作 $f^{-1}$。

有限和与有限积

定义

求和与连乘记号

设 $m,n\in\mathbb Z$、$m\le n$，而 $a_m,a_{m+1},\ldots,a_n$ 为数，则

$$\sum_{i=m}^{n}a_i=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n, \qquad \prod_{i=m}^{n}a_i=a_m a_{m+1}\cdots a_n.$$

$i$ 是哑指标，只负责标识对应项，在记号之外没有独立意义。

因此 $\sum_{i=m}^{n}a_i$ 与 $\sum_{k=m}^{n}a_k$ 表示同一个数。单纯换名不同于指标平移：平移改变各项的标签，必须由新上下限补偿。两个算子也规定了不同运算：$\sum$ 把各项相加，$\prod$ 把各因子相乘。例如 $\prod_{i=1}^{n}i=n!$，而 $\sum_{i=1}^{n}i$ 是等差求和。持续辨认算子，可避免看似顺畅却运算错误的推导。

定理 / 命题

定理

集合相等的双包含判据

对任意集合 $A,B$，$A=B$ 当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。

定理

平方函数的值域

若 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 由 $f(x)=x^2$ 定义，则 $f(\mathbb R)=[0,\infty)$。

定理

反函数判据

函数存在反函数当且仅当它是双射；反函数存在时是唯一的。

定理

有限和的基本法则

对常数 $C$ 及相容的有限数列，

$$\sum_{i=m}^{n}Ca_i=C\sum_{i=m}^{n}a_i, \qquad \sum_{i=m}^{n}(a_i\pm b_i)=\sum_{i=m}^{n}a_i\pm\sum_{i=m}^{n}b_i.$$

对整数平移量 $s$，

$$\sum_{i=m}^{n}a_i=\sum_{i=m+s}^{n+s}a_{i-s}.$$

有限双重和可按任一顺序展开：

$$\left(\sum_{i=m}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j=p}^{q}b_j\right) =\sum_{i=m}^{n}\sum_{j=p}^{q}a_i b_j =\sum_{j=p}^{q}\sum_{i=m}^{n}a_i b_j.$$

证明思路或证明

对双包含判据，若 $A=B$，每边的元素自然都属于另一边。反过来，$A\subseteq B$ 与 $B\subseteq A$ 说明一个对象属于 $A$ 当且仅当它属于 $B$，所以两集合元素相同。

平方函数的值域必须验证两个包含方向。若 $y\in f(\mathbb R)$，则某个实数 $x$ 使 $y=x^2\ge0$，故值域包含于 $[0,\infty)$。若 $y\ge0$，取 $x=\sqrt y$，便有 $f(x)=y$，得到反向包含。

若 $f$ 有反函数，相等的输出经反函数送回相等的输入，故 $f$ 为单射；等式 $f(g(y))=y$ 又说明每个陪域元素可达到，故为满射。反之，双射保证每个 $y$ 有唯一原像，定义 $g(y)$ 为该原像即可得到两个复合恒等式，唯一性也随之成立。

有限和的线性法则来自逐项展开与分配律。平移指标时，新指标取 $m+s$ 才出现原首项 $a_m$，取 $n+s$ 才出现原末项 $a_n$，所以上下限和下标必须同步移动。

例题详解

例题

1. 描述并运算集合

正偶数集合可写成

$$E=\{2m:m\in\mathbb Z^+\} =\{n\in\mathbb Z^+:n=2m\text{，其中某个 }m\in\mathbb Z^+\}.$$

若 $A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$、$C=\{3\}$，则 $A\cap B=\{2\}$、$A\cap C=\varnothing$、$A\cup B=\{1,2,3\}$、 $A\setminus B=\{1\}$、$B\setminus A=\{3\}$。此外

$$\{x\in\mathbb R:x^2>1\}=(-\infty,-1)\cup(1,\infty) =\mathbb R\setminus[-1,1].$$

例题

2. 按次序阅读量词

$\forall x\in\mathbb Z,\exists y\in\mathbb Z, x+y=0$ 为真，因为给定 $x$ 后可取 $y=-x$。反序语句为假：令 $x=0$ 会迫使唯一候选为 $y=0$，但再取 $x=1$，和便不是零。

例题

3. 改变定义域与分段端点

对 $f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=x^2$，值域是 $[0,\infty)$。若 $g:[-1,2)\to\mathbb R$ 且只对 $x\in[-1,2)$ 定义 $g(x)=x^2$，值域变为 $[0,4)$；$4$ 可趋近但不能达到。

再定义 $h:\mathbb R\to\mathbb R$。若

$$h(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge2,\\3-x,&x\lt2,\end{cases}$$

则 $x=2$ 只符合第一分支，故 $h(2)=3$；第二式所得的 $1$ 不适用于这个端点。

例题

4. 分类三个正弦函数

$f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=\sin x$ 既非单射也非满射。 $g:\mathbb R\to[-1,1]$ 是满射但非单射。进一步限制定义域得到 $h:[-\pi/2,\pi/2]\to[-1,1]$；它严格递增并达到每个陪域值，因此是双射。

例题

5. 指数函数与对数函数互逆

令 $f:\mathbb R\to(0,\infty)$、$f(x)=e^x$。它是双射，且 $f^{-1}:(0,\infty)\to\mathbb R$ 为 $f^{-1}(y)=\ln y$，因为

$$\ln(e^x)=x\quad(x\in\mathbb R),\qquad e^{\ln y}=y\quad(y>0).$$

两个等式分别核查两个定义域上的复合，缺一不可。

例题

6. 证明三次函数为双射并求反函数

令 $f:(0,\infty)\to(1,\infty)$、$f(x)=2x^3+1$。若 $f(x_1)=f(x_2)$，则

$$(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=0.$$

第二因子因 $x_1,x_2>0$ 而为正，所以 $x_1=x_2$，函数为单射。给定 $y>1$，取 $x=\sqrt[3]{(y-1)/2}>0$，即有 $f(x)=y$，故为满射。因此

$$f^{-1}(y)=\sqrt[3]{\frac{y-1}{2}},\qquad y\in(1,\infty).$$

例题

7. 展开求和并作裂项相消

直接展开有 $\sum_{i=1}^{n}i^2=1^2+2^2+\cdots+n^2$ 和 $\sum_{i=0}^{10}2^i=1+2+2^2+\cdots+2^{10}$。对 $n\in\mathbb Z^+$，

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)} &=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\ &=1-\frac1{n+1}. \end{aligned}$$

中间项成对相消；全过程统一使用指标 $k$。

例题

8. 分清有限积与有限和

对 $n\in\mathbb Z^+$，

$$\prod_{i=1}^{n}i=n!,\qquad \prod_{i=1}^{n}2^i=2^{1+2+\cdots+n}=2^{n(n+1)/2}.$$

各因子为正，所以

$$\sum_{i=1}^{n}\log i =\log(1\cdot2\cdots n) =\log\left(\prod_{i=1}^{n}i\right).$$

第二个恒等式由幂的连乘开始，不是幂的求和。

常见错误

常见错误

属于关系不等于包含关系

$x\in A$ 连接元素与集合；$A\subseteq B$ 连接两个集合，不能互换。

常见错误

集合差的右边也必须是集合

除去 $2$ 的实数集合是 $\mathbb R\setminus\{2\}$，不能把数字 $2$ 直接当作集合差的右操作数。

常见错误

不要调换量词

$\forall x\exists y$ 允许 $y$ 依赖 $x$；$\exists y\forall x$ 要求一个固定 $y$ 适用于所有 $x$。

常见错误

公式、定义域、陪域与值域是不同资料

只写 $x^2$ 尚未定义函数；陪域是声明的目标集合，值域则只含实际达到的数值。

常见错误

反函数不是倒数

$f^{-1}$ 表示撤销 $f$ 的函数，一般不等于 $1/f$。必须在正确的定义域上核查两个复合。

常见错误

平移指标时同步改变所有资料

哑指标换名无妨，但平移时要同时改变上下限与下标；还要分清表示相加的 $\sum$ 和表示相乘的 $\prod$。

总结

集合由属于关系控制，集合相等用双包含证明。量词必须按次序阅读。函数包含规则、定义域与陪域；单射保证原像至多一个，满射保证原像至少一个，两者合起来才有反函数。有限和与有限积必须写明范围并保持指标一致。这些约定使后续论证能够逐步检查。

练习

1. 用两种等价的集合构造式写出正奇数集合。
2. 设 $A=\{1,2,4\}$、$B=\{2,3,4\}$，求 $A\cap B$、$A\cup B$、$A\setminus B$ 与 $B\setminus A$。
3. 判断 $\forall x\in\mathbb Z,\exists y\in\mathbb Z, y>x$ 和 $\exists y\in\mathbb Z,\forall x\in\mathbb Z, y>x$ 哪个为真。
4. 求 $g:[-2,1)\to\mathbb R$、$g(x)=x^2$ 的值域。
5. 判断 $f:\mathbb R\to[0,\infty)$、$f(x)=x^2$ 是单射、满射、双射还是两者皆非。
6. 证明 $f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=3x-5$ 为双射，并求 $f^{-1}$。
7. 把 $\sum_{i=2}^{n}a_i$ 平移成下限为 $5$ 的求和式。
8. 计算 $\sum_{k=1}^{n}\frac1{(k+1)(k+2)}$，并化简 $\prod_{i=1}^{n}3^i$。

答案与解答

解答 · 解答 1

正奇数集合是 $\{2m-1:m\in\mathbb Z^+\}$，也可写成 $\{n\in\mathbb Z^+:n=2m-1\text{，其中某个 }m\in\mathbb Z^+\}$。

解答 · 解答 2

$A\cap B=\{2,4\}$、$A\cup B=\{1,2,3,4\}$、 $A\setminus B=\{1\}$、$B\setminus A=\{3\}$。

解答 · 解答 3

第一句为真：给定 $x$ 后取 $y=x+1$。第二句为假：对任何候选 $y$，取 $x=y+1$ 即得到反例。

解答 · 解答 4

最小值 $0$ 在 $x=0$ 达到；最大值 $4$ 在已包含的端点 $x=-2$ 达到，故值域为 $[0,4]$。

解答 · 解答 5

每个 $y\ge0$ 都等于 $(\sqrt y)^2$，故函数为满射；但 $f(1)=f(-1)$，故不是单射。

解答 · 解答 6

$3x_1-5=3x_2-5$ 推出 $x_1=x_2$，所以为单射。给定实数 $y$，取 $x=(y+5)/3$ 即有 $f(x)=y$，所以为满射；$f^{-1}(y)=(y+5)/3$。

解答 · 解答 7

取平移量 $s=3$，则

$$\sum_{i=2}^{n}a_i=\sum_{j=5}^{n+3}a_{j-3}.$$

首项仍是 $a_2$，末项仍是 $a_n$。

解答 · 解答 8

因为 $\frac1{(k+1)(k+2)}=\frac1{k+1}-\frac1{k+2}$，

$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{(k+1)(k+2)}=\frac12-\frac1{n+2}.$$

另外，$\prod_{i=1}^{n}3^i=3^{1+2+\cdots+n}=3^{n(n+1)/2}$。