2.4 解集的类型

高斯消元并不是把矩阵化简之后就结束。做行化简的目的，是让化简后的矩阵可以 直接读出解集的结构。本节要把这种读法说清楚。

线性系统只有三种可能的结果：

1. 恰好一个解；
2. 无穷多个解；
3. 没有解。

这个分类不是靠猜测，而是由增广矩阵在 RREF 中的主元位置决定。

一致性的判准

第一个问题不是系统有一个解还是很多解，而是它到底有没有解。

定理

由 RREF 判断一致性

设 $A$ 为一个 $m \times n$ 线性系统的增广矩阵，$B$ 为与 $A$ 行等价的 RREF。则该系统不一致，当且仅当 $B$ 的最后一列是主元列。

等价地说，系统不一致，当且仅当 $B$ 含有如下形式的一行：

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & \cdots & 0 & d \end{array} \right] \qquad\text{其中 } d \neq 0$$

这样的一行代表方程

$$0 = d$$

当 $d \neq 0$ 时显然不可能成立，所以一旦出现矛盾行，就立刻知道系统无解。

主变量与自由变量

当一个一致的线性系统化成 RREF 之后，主元列会告诉你哪些变量是由其他变量所 决定；没有主元的列，则对应可以自由选取的变量。

定义

主变量与自由变量

设某一致线性系统的增广矩阵与一个 RREF 矩阵 $B$ 行等价。若 $B$ 的第 $j$ 列 是主元列，则变量 $x_j$ 称为主变量或依变量。没有主元的变量称为自由 变量。

这个术语很重要，因为它告诉你最后的答案应该如何写：自由变量成为参数，主变 量则用这些参数表示出来。

为什么只有三种情况

一旦知道系统是一致的，剩下的问题便只剩下自由变量有多少个。

定理

用主元数目分类

假设一个 $m \times n$ 线性系统是一致的，且其增广矩阵与某个有 $r$ 个主元列 的 RREF 行等价。则 $r \leq n$。此外：

1. 若 $r = n$，系统有唯一解；
2. 若 $r \lt n$，系统有无穷多解。

原因其实是结构性的：

• 若 $r = n$，每一个变量列都有主元，因此没有自由变量。
• 若 $r \lt n$，则 $n - r \gt 0$，至少有一个自由变量。
• 只要系统一致，而又有自由变量，该自由变量便可取任意实数值，因此立刻产生 无穷多个解。

把一致性定理与主元数目定理合起来，便得到标准的三分法。

定理

线性系统解集的三分法

任何线性方程组的解集恰好属于以下三类之一：

1. 唯一解；
2. 无穷多解；
3. 无解。

从简化矩阵得到全部解

分类定理中有两个需要认真证明的环节。第一，没有矛盾行时，系统确实存在解；第二，改变自由参数确实产生不同的解，而不是给同一个数组换一种名字。这两个结论都来自 RREF 对主元列与非主元列的分离。

证明

参数表达式既穷尽全部解，也不会重复计数

设系数矩阵有 $n$ 列，简化后的增广矩阵为 $[R\mid d]$，并且没有矛盾行。主元列编号为 $p_1,\ldots,p_r$，其余系数列编号为 $f_1,\ldots,f_k$，其中 $k=n-r$。每条非零行给出

$$x_{p_i}+\sum_{j=1}^{k}r_{i f_j}x_{f_j}=d_i.$$

其他主变量不会出现在这一行，因为各主元列除了自身的主元以外都是零。因此，可以任意选择实参数 $t_1,\ldots,t_k$，再定义

$$x_{f_j}=t_j,\qquad x_{p_i}=d_i-\sum_{j=1}^{k}r_{i f_j}t_j.$$

每组参数都给出一个解：非零行由对应公式直接满足，其余行都是恒等式 $0=0$。由于行化简可逆，这个数组也满足原系统。这证明了一致性判准中的充分性，不能只说矛盾行不可能出现就略过存在性的论证。

这个构造还穷尽全部解。若 $x$ 是任意一个解，读取它的自由坐标，令 $t_j=x_{f_j}$，那么各条主元方程便强制其余坐标满足上面的公式。因此，没有任何解落在参数表达式之外。

最后，构造不会重复计数。两组参数若不同，必定有某个 $t_j$ 不同；对应解的第 $f_j$ 个坐标就是该参数，所以两个解也不同。这证明参数到解的映射是单射。

没有自由变量时，主元方程确定唯一数组。有至少一个自由变量时，把其他参数固定为零，让这一个参数遍历实数，就由单射性得到无穷多个不同的解。本课程始终在实数范围讨论，因此这里用到了实数有无穷多个这一事实。答案里出现参数符号本身，还不足以代替不同解的证明。

没有主元的极端情形也包括在内。若整个增广矩阵全零，每个实数组都是解，所有变量都是自由变量，参数映射就是恒等映射。相反，若系数矩阵全零却有一个非零常数，系统立即无解。必须检查完整增广行，不能只观察系数部分。

三个 RREF，三种读法

化简后的矩阵已经把整个故事写在眼前，关键只在于你是否知道要看什么。

例题

先读矩阵，再谈求解

考虑以下三个 RREF 增广矩阵。

第一个：

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right]$$

两个变量列都是主元列，所以没有自由变量。系统有唯一解

$$x_1 = 3,\qquad x_2 = -2$$

第二个：

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

第 1 列是主元列，但第 2、3 列都不是，所以 $x_2$ 与 $x_3$ 是自由变量。方 程为

$$x_1 + 2x_2 = 5$$

故

$$x_1 = 5 - 2x_2$$

因此解集可写成

$$\{(5 - 2s,\ s,\ t) \mid s, t \in R\}$$

第三个：

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

最后一行表示 $0 = 1$，因此系统不一致，没有解。

要养成的阅读习惯是：

1. 先检查有没有矛盾行；
2. 再找主元列；
3. 然后数自由变量；
4. 最后把主变量用自由变量写出来。

下面的图解把三种情况整理成决策树：先检查相容性，再数自由变量。 随后的较大参数化例子也按这个次序判断。

把定理压缩成决策树：先检查最后一列是否造成不相容，再用主元与自由变量数目判断唯一或无限多。

1. 阅读 RREF

   行变换保留解集，所以 RREF 可以安全阅读。先分开变量列与增广列，再找主元列与自由列。

2. 先看相容性

   若有一行 [0 0 ... 0 | d] 且 d 非零，它代表 0=d。等价地说，最后一列有主元便表示系统无解。

3. 唯一解

   若系统相容，而且每个变量列都有主元，就没有自由变量；RREF 便直接给出唯一解向量。

4. 无限多解

   若系统相容，但有变量列没有主元，该自由变量便成为实参数，产生无限多个解。

5. 三个结果

   三分法是完整的：无解、唯一解、或无限多解。线性方程组不会恰好有两个解。

6. 练习阅读顺序

   用下面的互动分类器练习同一顺序：先查矛盾行，再数变量主元，最后分类解集。

分类是结构性的：矛盾行判定不相容；一旦系统相容，自由变量的数目便决定解集是一个点还是一个无限族。

一个较大的参数化例子

当系统有自由变量时，答案必须写成完整的集合，而不能只说“有很多解”就结 束。

例题

把解集完整写出来

设某个五变量系统的 RREF 为

$$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

第 1、3、4 列是主元列，所以 $x_1$、$x_3$、$x_4$ 是主变量；第 2、5 列不 是主元列，所以 $x_2$ 与 $x_5$ 是自由变量。

由各行可读得

$$\begin{aligned} x_1 - x_2 + 3x_5 &= 6, \\ x_3 - 2x_5 &= 1, \\ x_4 + 4x_5 &= 9 \end{aligned}$$

令

$$x_2 = s,\qquad x_5 = t$$

则

$$\begin{aligned} x_1 &= 6 + s - 3t, \\ x_3 &= 1 + 2t, \\ x_4 &= 9 - 4t \end{aligned}$$

因此解集为

$$\{(6 + s - 3t,\ s,\ 1 + 2t,\ 9 - 4t,\ t) \mid s, t \in R\}$$

两个自由变量便产生两个参数，所以解集是一个二参数族。

参数表达式要经得起直接代入

例题

六个坐标中有三个不相邻的自由变量

考虑六个未知量的 RREF：

$$\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1&4&0&0&2&1&4\\ 0&0&1&0&1&-3&2\\ 0&0&0&1&2&-6&1\\ 0&0&0&0&0&0&0 \end{array}\right].$$

主元编号是 $1,3,4$，自由变量编号是 $2,5,6$。令 $x_2=s$、$x_5=t$、$x_6=u$，逐行读取后得到

$$x=(4-4s-2t-u,\ s,\ 2-t+3u,\ 1-2t+6u,\ t,\ u), \qquad s,t,u\in\mathbb R.$$

直接代入检查：第一行变成 $(4-4s-2t-u)+4s+2t+u=4$；第二行变成 $(2-t+3u)+t-3u=2$；第三行变成 $(1-2t+6u)+2t-6u=1$。所有参数项都按要求抵消。反过来，任意解的第二、第五、第六个坐标便给出自己的参数值，其余坐标随后由方程唯一确定。

这比列举几个数值解更完整。参数全为零时得到 $(4,0,2,1,0,0)$，但它只是解集中的一个元素。完整公式同时记录哪些选择彼此独立，以及这些选择如何改变主坐标。数组必须保持原变量顺序；不能未经说明就把自由坐标集中移到最后，否则表示的是另一组坐标。

前面的五坐标例子具有相同结构，只是自由参数有两个。检查时可以从完成的数组反过来读取参数：第二个坐标就是第一个参数，第五个坐标就是第二个参数。这样既看清没有遗漏解，也看清不同参数不会描述同一数组。

当变量比方程还多时的一个推论

课堂里经常遇到的情况，是变量数多于方程数，而系统又是一致的。

定理

变量多于方程时的一致系统

假设一个一致线性系统有 $m$ 条方程、$n$ 个变量，且 $n \gt m$。则该系统必有 无穷多解。

原因是：在 RREF 中最多只会有 $m$ 个非零行，因此主元列最多只有 $m$ 个。若 $n \gt m$，则 $n$ 个变量列中必然至少有一列不是主元列，所以至少有一个自由变 量。一致性再加上自由变量，便立刻推出无穷多解。

这个推论不是说每个未知数更多的系统都一定有解；它只是在说，一旦这类系统一致，便不可能只有唯一解。

为什么不能只数方程

反例模式

方程数等于未知量数，并不保证唯一解

下面三个系统都恰好有两条方程、两个未知量：

$$\begin{aligned} \text{I: }&x+y=2,\quad x-y=0;\\ \text{II: }&x+y=2,\quad 2x+2y=4;\\ \text{III: }&x+y=2,\quad 2x+2y=5. \end{aligned}$$

系统 I 的唯一解是 $(1,1)$。系统 II 从第二条方程减去第一条的两倍，得到 $0=0$，所以解为 $(2-t,t)$。系统 III 做同样运算却得到 $0=1$，所以无解。方程数与未知量数在三个例子中完全相同，却出现全部三种结局。

错误的隐含假设是每条写出来的方程都会增加一个新的、彼此相容的限制。重复方程没有增加限制，不相容的方程却会排除所有候选解。主元数是在组合方程后计算真正独立的限制，单纯数矩阵行数没有完成这项工作。 正确的判据是：实线性系统有唯一解，当且仅当系统一致，且每个变量列都是主元列。

增加多余方程也不会自动破坏唯一性。系统 $x=1$、$y=2$、$x+y=3$ 有三条方程、两个未知量，却仍然只有一个解。若把第三条改成 $x+y=4$，系统便无解。因此，方程多于未知量的系统既可能一致，也可能不一致，两个数目的大小关系本身不能判断。

同样，方程少于未知量时，只有在已经确认一致的前提下，才能推出无穷多解。三个变量的两条方程 $x+y+z=0$ 和 $2x+2y+2z=1$ 就互相矛盾。增广化简后，一行的系数全部消失，常数却不为零。再多没有主元的变量列，也无法弥补这个矛盾。

方程中的参数，不等于解中的自由变量

例题

先分类整个参数族，再决定是否相除

给定实数 $a,b$，考虑

$$x+y=1,\qquad 2x+ay=b.$$

这里未知量是 $x,y$，而 $a,b$ 决定题目究竟是哪一个系统。执行合法操作 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，得到

$$\left[\begin{array}{cc|c}1&1&1\\0&a-2&b-2\end{array}\right].$$

若 $a\ne2$，第二行给出 $y=(b-2)/(a-2)$，第一行给出 $x=1-y$，所以解唯一。若 $a=2$ 而 $b\ne2$，第二行是矛盾 $0=b-2$，所以无解。若 $a=2$ 且 $b=2$，第二行全零，全部解为 $(1-t,t)$，其中 $t$ 为任意实数。

这三个分支穷尽所有参数对。如果还没有处理 $a=2$ 就除以 $a-2$，恰好会丢掉那些答案可能从唯一解变成无穷多解或无解的系统。最后表达式里的 $t$ 承担不同角色：它在一个固定系统中选取不同解，而 $a,b$ 是在选择系统本身。

两个不同解为何必然带来无穷多个解

还可以不用重新消元，直接从线性运算验证三分法。设 $u,v$ 是同一个系统 $Ax=b$ 的两个不同解。对每个实数 $t$，定义 $w(t)=u+t(v-u)$。由矩阵乘法的线性性质，

$$Aw(t)=Au+t(Av-Au)=b+t(b-b)=b.$$

所以这条直线上的每个点都是解。不同参数还会给出不同数组：若 $w(s)=w(t)$，就有 $(s-t)(v-u)=0$。由于两解不同，差向量至少有一个非零坐标，从该坐标便得到 $s=t$。因此，实线性系统一旦有两个不同解，就不可能恰好只有二个、三个或其他大于一的有限个解。

这个证明与参数映射证明互相补充。参数映射构造全部解，并数清独立选择的个数；直线论证从两个已知解出发，只证明无穷多个解必定存在，并没有声称这条直线包含全部解。若系统有多个自由变量，完整解集可以比两个选定解之间的直线更大。

用交互模块比较三种情况

以下分类器的价值，在于它把阅读步骤拆清楚：先看矛盾行，再找主元，然后数剩 下多少自由变量。

常见错误

常见错误

自由变量不是“还没算完”

自由变量是系统本身的真实结构，不是计算尚未完成。它表示解集需要用参数表 示；代数工作其实已经完成，只是答案是一族向量，而不是单一点。

常见错误

零行不等于矛盾行

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

这一行不会增加任何条件，与一致性完全相容；但

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

则是一条矛盾行，会使系统不一致。

快速检查

思考检查

行 $\left[\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 告诉你这个系统具有什么性质？

把这一行直接读成一条方程。

解答 · 答案

它表示 $0 = 1$，所以系统不一致，没有解。

思考检查

若一个四变量的一致系统有三个主元列，它有多少个自由变量？

数一数哪一列变量列不是主元列。

解答 · 答案

它有 $4 - 3 = 1$ 个自由变量，因此系统有无穷多解。

练习

思考检查

判断 RREF $\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ 的解集类型，并把解集完整写出来。

先找自由变量，再求主变量。

解答 · 引导解答

第 1、2 列是主元列，而第 3 列不是，因此 $x_3$ 是自由变量。令

$$x_3 = t$$

则两行方程给出

$$x_1 + 2t = 4, \qquad x_2 - 3t = -1$$

因此

$$x_1 = 4 - 2t, \qquad x_2 = -1 + 3t$$

故解集为

$$\{(4 - 2t,\ -1 + 3t,\ t) \mid t \in R\}$$

思考检查

为什么一致线性系统不可能恰好只有两个解？

请用自由变量定理回答，不要只靠图像直觉。

解答 · 引导解答

若一致系统没有自由变量，便只有唯一解；若至少有一个自由变量，该自由变量可 以取无穷多个实数值，所以系统便有无穷多解。故一致系统不可能恰好只有两个 解。

相关笔记

先读 2.3 高斯消元与 RREF 可回顾行化简的操作流程；再读 2.2 增广矩阵与行变换 可重温增广矩阵与初等行变换的意义。