4.2 集合语言与解集

线性代数研究的往往不是单一向量，而是一整个向量或矩阵的集合：一个方程组的 所有解、一组向量的所有线性组合、满足某条矩阵方程的所有矩阵，或者被某个矩 阵送到零向量的所有向量。

集合语言就是精确表达这些对象的语法。若没有它，“同一个解集”、“属于零 空间”、“这些向量张成同一个子空间”这些说法就会太含糊，难以支撑证明。

为什么线性代数需要集合

做行化简时，我们不是要保留方程的外观，而是要保留解的集合。两个方程 组可以看起来不同，却有完全相同的解。

同样地，把一组张成向量缩短时，我们不是要保留原来的列表，而是要保留由这 个列表能够生成的向量集合。

定义

属于

若对象 $x$ 是集合 $S$ 的元素，记作

$$x \in S.$$

若 $x$ 不是 $S$ 的元素，记作

$$x \notin S.$$

符号 $\in$ 应读作“属于”。它不同于子集语言。一个向量可以属于某个集合； 一个较小的集合可以是另一个集合的子集。

所在空间

写下一个线性代数集合之前，先确认正在收集哪一类对象。

• $\mathbb R^n$ 是所有有 $n$ 个分量的实列向量所成的集合。
• $M_{m,n}(\mathbb R)$ 是所有实 $m \times n$ 矩阵所成的集合。
• $P_n$ 是所有次数不超过 $n$ 的实系数多项式所成的集合。

所在空间很重要。式子

$$\{x : Ax=b\}$$

若没有说明 $x$ 的大小与类型，就不够完整。较严谨的写法是

$$\{x\in R^n : Ax=b\}.$$

冒号左边说明对象住在哪个集合；冒号右边说明挑选这些对象的条件。

解集

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，且 $b\in \mathbb R^m$。

定义

线性方程组的解集

方程 $Ax=b$ 的解集是

$$S(A,b)=\{x\in R^n : Ax=b\}.$$

因此 $t\in S(A,b)$ 有精确意思：

$$t\in R^n \qquad\text{且}\qquad At=b.$$

这个记号也能处理三种熟悉情况。

• 若方程组有唯一解 $x_0$，则 $S(A,b)=\{x_0\}$。
• 若方程组不一致，则 $S(A,b)=\varnothing$。
• 若方程组有无限多个解，则 $S(A,b)$ 通常用参数式描述。

例题

读懂参数式解集

假设某个方程组的解可写成

$$x= \begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad s,t\in R.$$

作为集合，这就是

$$\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} : s,t\in R \right\}.$$

固定向量是一个特解；两个方向向量记录了可以自由加入而仍留在解集中的方向。

零空间与张成都是集合

课程中有两种集合构造反复出现。

定义

零空间

对 $m \times n$ 矩阵 $A$，

$$N(A)=\{x\in R^n : Ax=0\}.$$

这就是齐次方程组 $Ax=0$ 的解集。

定义

张成

若 $u_1,\dots,u_q$ 是同一个向量空间中的向量，则

$$\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q\} = \{\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_qu_q : \alpha_1,\dots,\alpha_q\in R\}.$$

张成是一个集合，不是原来的列表。重排向量不会改变张成；加入一个本来已经 是旧向量线性组合的向量，也不会改变张成。

堆叠矩阵中的包含关系证明

证明集合包含时，先把成员关系写成定义中的方程，再推导目标集合的条件。 把两个系数矩阵上下堆叠，便得到这个方法的一个具体例子。

定理

堆叠矩阵的零空间包含在组合矩阵的零空间内

设 $A$ 和 $B$ 是 $p \times q$ 矩阵，并令

$$C=\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}.$$

对任意实数 $\alpha,\beta$，都有

$$N(C)\subseteq N(\alpha A+\beta B).$$

证明

由定义出发的证明

要证明 包含关系，取任意 $t\in N(C)$。由零空间定义，

$$Ct=0.$$

由于 $C$ 是把 $A$ 叠在 $B$ 上方所得的矩阵，这等同于

$$\begin{bmatrix} At \\ Bt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

因此 $At=0$ 且 $Bt=0$。所以

$$(\alpha A+\beta B)t = \alpha At+\beta Bt = 0.$$

再次由零空间定义，$t\in N(\alpha A+\beta B)$。由于 $t\in N(C)$ 是任意 选取的，包含关系成立。

前一节证明的堆叠零空间恒等式 准确写为 $N(C)=N(A)\cap N(B)$。因此，上面的包含关系是说，同时满足两条齐次方程，就必满足它们的任意固定线性组合；它并没有说组合后仍保留两条独立的要求。

例题

合并方程会丢失信息

取 $A=[1\ 0]$、$B=[0\ 1]$，堆叠矩阵是 $C=I_2$，所以 $N(C)=\{0_2\}$。但取 $\alpha=\beta=1$，则 $A+B=[1\ 1]$，从而

$$N(A+B)=\left\{\begin{bmatrix}t\\-t\end{bmatrix}:t\in\mathbb R\right\}.$$

为证明此描述，任意零空间向量都须满足 $x_1+x_2=0$，所以令 $t=x_1$ 就得到所写形式；反过来，代入任意这样的向量，两坐标之和都为零。因此 $(1,-1)^T$ 属于 $N(A+B)$，却不属于 $N(C)$：它在 $A,B$ 下的输出分别是一与负一，只在相加后才互相抵消。包含是严格的，改写成相等就会出错。

正确的等式使用交集，即 $N(C)=N(A)\cap N(B)$。组合方程容许输出相互抵消，原来两个方程却要求两个输出分别为零。一个见证向量已足以证明严格包含；参数计算则进一步描述了全部新增的解。

集合相等需要两个方向

定义

集合相等

两个集合 $S$ 与 $T$ 相等，是指每一边的元素都属于另一边：

$$S=T \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x\in S \text{ if and only if } x\in T\bigr) \text{ 对所有对象 }x\text{ 成立}.$$

在证明中，这通常变成两个包含关系：

1. 证明 $S$ 的每个元素都属于 $T$；
2. 证明 $T$ 的每个元素都属于 $S$。

只证明第一个方向，只能得到 $S\subseteq T$，不能得到相等。

证明透视

每个包含方向都从成员条件取得资料

证明 $S\subseteq T$ 时，先任取 $x\in S$，把成员关系翻译成等式或系数。目标 $x\in T$ 也有自己的定义条件；论证必须把已知资料转换成同一个向量所需满足的条件，不能先假设结论。

对张成而言，已知资料是某组系数的存在；要证明属于另一个张成，就应构造另一组系数。对零空间而言，已知资料是一条齐次方程；要证明属于另一个零空间，就应检查对应的矩阵方程。只验证几个数值向量，不能代替这个任意向量的步骤。

然后交换两个集合的角色，另作反向论证。这一方向可以较短，例如为新增的生成向量补上零系数，但仍须明确写出。两个包含方向可以使用不同的表示方式；始终不变的是要证明属于相应集合的那个向量。

跟着集合语言的语法，把代数条件转成解集，再用任意元素证明子集与集合相等。

1. 属于与子集

   x\in S 说一个对象属于 S；S\subseteq T 则比较两个集合。

2. 集合描述语法

   在 {x\in R^n:Ax=b} 中，R^n 指出所在空间，Ax=b 是挑选元素的条件。

3. 解集

   S(A,b)={x\in R^n:Ax=b} 是一个集合陈述；它可以是空集、单元素集合，或参数族。

4. 零空间与张成

   N(A) 由方程定义；Span{u_1,...,u_q} 由参数定义。两者都描述整个集合。

5. 子集证明套路

   要证明 S\subseteq T，取 S 中任意元素，拆开 S 的定义，再证明它满足 T 的条件。

6. 相等证明套路

   集合相等需要两个包含关系。删去张成列表中的冗余向量，背后也是这套证明语法。

集合语言把代数条件变成精确集合：先写所在空间，再写条件，然后由任意元素开始证明包含关系。

同一系数矩阵的解集交集

集合语言也能清楚说明一个常用事实：若 $Ax=b$ 和 $Ax=c$ 的解集有一个共同 向量，则两个右端向量其实必须相同。

定理

同一个 A 下，两个有交集的解集必然相等

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，且 $b,c\in \mathbb R^m$。若

$$S(A,b)\cap S(A,c)\ne\varnothing,$$

则

$$S(A,b)=S(A,c).$$

证明

为什么一个共同解足以迫出相等

因为交集非空，所以存在某个向量 $x_0$，使得

$$x_0\in S(A,b) \qquad\text{and}\qquad x_0\in S(A,c).$$

由解集定义，

$$Ax_0=b \qquad\text{and}\qquad Ax_0=c.$$

因此 $b=c$。但若两个右端向量相同，两个 defining condition 就完全一样：

$$Ax=b \qquad\Longleftrightarrow\qquad Ax=c.$$

所以 $S(A,b)$ 的每个元素都属于 $S(A,c)$，而 $S(A,c)$ 的每个元素也属于 $S(A,b)$。因此 $S(A,b)=S(A,c)$。

反过来读也很重要：对固定矩阵 $A$，两个一致系统 $Ax=b$ 与 $Ax=c$ 的解集 要么不相交，要么完全相同。它们不可能只共享一个解，却在其他解上不同。

一个核心张成论证

下面的论证在线性代数中会不断出现，只是常常藏在较大的计算里。

定理

加入冗余向量不会改变张成

若 $v$ 是 $u_1,\dots,u_q$ 的线性组合，则

$$\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q,v\} = \operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q\}.$$

证明

用集合相等证明

写

$$v=\beta_1u_1+\cdots+\beta_qu_q.$$

令

$$S=\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q,v\}, \qquad T=\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q\}.$$

先取任意 $x\in S$。则存在标量 $a_1,\dots,a_q,c$，使得

$$x=a_1u_1+\cdots+a_qu_q+cv.$$

代入 $v$ 的公式：

$$x=(a_1+c\beta_1)u_1+\cdots+(a_q+c\beta_q)u_q.$$

所以 $x\in T$。

反过来，若 $y\in T$，则

$$y=d_1u_1+\cdots+d_qu_q =d_1u_1+\cdots+d_qu_q+0v,$$

所以 $y\in S$。因此 $S=T$。

这不是某个数值例子的技巧，而是说明为什么从张成列表中删去冗余向量是合法 的。

逆命题准确识别冗余向量

假设加入 $v$ 后张成没有改变。向量 $v$ 一定属于扩大的张成：把它自己的系数取一，其余旧生成向量的系数全部取零即可。两个张成相等，于是 $v$ 也属于原来的张成，按定义便是旧生成向量的线性组合。这证明了逆命题，而不只是正向定理的另一个例子。

结合两个方向可知：加入一个向量不改变张成，当且仅当旧列表已经能够生成它。若向量在原张成之外，新张成就严格扩大：给新增向量系数零，说明新张成包含旧张成；新增向量本身则说明反向包含失败。

这里 $\operatorname{Span}(U)$ 简记列表 $U$ 中各向量的张成，并不是把整个列表当成一个向量。

定理

多个冗余生成向量与张成相等

设 $U=(u_1,\ldots,u_q)$ 与 $V=(v_1,\ldots,v_s)$ 是 $\mathbb R^n$ 中两个有限非空向量列表。把 $V$ 中全部向量加入 $U$ 不改变张成，当且仅当每个 $v_j$ 都属于 $\operatorname{Span}(U)$。此外，

$$\operatorname{Span}(U)=\operatorname{Span}(V)$$

当且仅当每个列表中的向量都可由另一个列表作线性组合得到。列表长度 $q,s$ 不必相同。

证明

从逐个加入到双向生成

若每个 $v_j$ 都由 $U$ 生成，就逐个加入 $V$ 中的向量。第一次加入不改变张成；后续每个 $v_j$ 仍由保留在列表中的原生成向量生成，所以每一步都可再次使用单向量定理。归纳可得任意有限列表的结论。反过来，每个新增向量都属于扩大的张成；若扩大后的张成等于旧张成，它们便都已属于旧张成。

对第二个结论，假设两个方向的生成关系成立。把 $V$ 加到 $U$ 不改变 $\operatorname{Span}(U)$；把 $U$ 加到 $V$ 不改变 $\operatorname{Span}(V)$。合并后的列表包含相同向量，而改变次序不影响能形成的线性组合，所以两个张成都等于合并列表的张成。

反过来，若两个张成相等，$U$ 的任意生成向量属于自身张成，也就属于 $V$ 的张成，按定义可由 $V$ 生成。交换列表可得另一个方向。这些论证都不需要线性无关假设。

例子：证明两个张成相等

例题

用明确系数删去一个冗余生成向量

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix}.$$

因为

$$v=2u_1+3u_2,$$

上面的定理给出

$$\operatorname{Span}\{u_1,u_2,v\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

直接核对两个包含关系：较大张成中的任意向量可写为 $au_1+bu_2+cv$。代入已验证的关系，得到 $(a+2c)u_1+(b+3c)u_2$，属于较小张成。反过来，$du_1+eu_2=du_1+eu_2+0v$ 属于较大张成。旧系数为实数时，新系数也为实数，所以这些表达式对每个向量证明了双向包含，而不只是验证所列三个生成向量的成员关系。向量 $v$ 仍可能有计算用途，但不会扩大能够生成的集合。

例题

两组不同的生成向量给出同一张成

令

$$u=\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix},\quad w=\begin{bmatrix}3\\7\\11\end{bmatrix},\quad z=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}.$$

逐坐标验证可得正向关系 $w=u+v$、$z=v-u$。因此，对任意实数 $a,b$，有 $aw+bz=(a-b)u+(a+b)v$，证明了 $\operatorname{Span}(w,z)\subseteq\operatorname{Span}(u,v)$。为得到反向包含，把这两个关系解回原生成向量：

$$u=\tfrac12w-\tfrac12z,\qquad v=\tfrac12w+\tfrac12z.$$

所以对任意实数 $c,d$，

$$cu+dv=\tfrac{c+d}{2}w+\tfrac{d-c}{2}z.$$

这就构造出另一个方向所需的系数。由任何一组生成的每个向量，都能由另一组生成，故两个张成相等。只观察到两个列表都含两个向量，并不能证明结论；真正提供依据的是明确的相互表示关系。

同样的关系还能处理较长列表。在 $(u,v)$ 后加入 $w$、$2u$ 与 $z$ 不改变张成，因为每个新增向量都已由原来一对生成。所得五向量列表与原两向量列表张成相同。张成相等描述的是可生成哪些向量，而不是所选列表有多长；反过来，列表等长本身也不保证张成相等。

常见错误

常见错误

混淆向量与只含该向量的集合

向量 $x_0$ 与单元素集合 $\{x_0\}$ 是不同对象。若方程组有唯一解，解是 $x_0$，但解集是 $\{x_0\}$。

常见错误

忘记所在空间

条件 $Ax=0$ 本身没有说明 $x$ 是 $\mathbb R^n$ 中的向量、矩阵变量，还是其他对象。 当语境未固定时，要写出所在集合。

常见错误

只证明一个包含方向

要证明 $S=T$，只证明 $S$ 的每个元素属于 $T$ 并不足够。还要证明 $T$ 的 每个元素也属于 $S$。

常见错误

忘记共同解会固定右端向量

如果两个系统使用同一个矩阵 $A$，而某个 $x_0$ 同时满足 $Ax_0=b$ 和 $Ax_0=c$，则必然有 $b=c$。结论不只是两个系统相似，而是它们有相同的右端 向量。

快速检查

思考检查

如果 $S(A,b)=\varnothing$，这对方程组 $Ax=b$ 表示什么？

把空集合翻译回解的语言。

解答 · 答案

这表示方程组没有解。也就是说，$Ax=b$ 不一致。

思考检查

假设 $w=3u_1-u_2$。把 $w$ 加入列表 $\{u_1,u_2\}$ 会不会改变张成？

使用冗余向量定理。

解答 · 答案

不会。因为 $w$ 已经是 $u_1$ 与 $u_2$ 的线性组合，

$$\operatorname{Span}\{u_1,u_2,w\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

思考检查

假设 $S(A,b)\cap S(A,c)$ 包含一个向量 $x_0$。这对 $b$ 和 $c$ 表示什么？

用解集成员的定义。

解答 · 答案

因为 $x_0\in S(A,b)$，所以 $Ax_0=b$。又因为 $x_0\in S(A,c)$，所以 $Ax_0=c$。因此 $b=c$，两个解集相等。

练习

思考检查

令 $S=\operatorname{Span}\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ 且 $T=\mathbb R^2$。证明 $S=T$。

即使其中一个方向看似明显，也要写出两个包含方向。

解答 · 引导解答

首先，$S$ 的每个向量都是 $\mathbb R^2$ 中向量的线性组合，所以 $S\subseteq \mathbb R^2$。

反过来，取任意 $(a,b)\in \mathbb R^2$。则

$$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)+0(1,1),$$

所以 $(a,b)\in S$。因此 $\mathbb R^2\subseteq S$，从而 $S=T$。

练习：判断新增向量是否改变张成

令 $u_1=(1,0,1)^T$、$u_2=(0,1,1)^T$。哪些实数 $a,b,c$ 会使加入 $w=(a,b,c)^T$ 后，$\operatorname{Span}(u_1,u_2)$ 保持不变？若张成改变，请指出一个能够证明改变的向量。

解答 · 用冗余逆命题作答

由已证明的等价关系，张成不变当且仅当 $w$ 已是 $u_1,u_2$ 的线性组合。而所有组合均具有形式

$$su_1+tu_2=(s,t,s+t)^T.$$

匹配前两个坐标，必须有 $s=a$、$t=b$；第三个坐标便要求 $c=a+b$。条件成立时，$w=au_1+bu_2$ 明确验证了成员关系，所以旧张成不变。条件不成立时，没有任何系数可用旧向量对表示 $w$；但给它自身系数一，即知它属于扩大后的张成。因此 $w$ 就是严格扩大的见证。

论证既检查了表示的存在性，也证明了不存在表示时为什么失败，不能只因新向量与旧生成向量的所在空间维数相同，就假设它是冗余的。

最后要区分生成列表与基。本节的论证只研究可以生成哪些向量，容许列表出现重复及不必要的生成向量。前面的五向量例子删去三个生成向量后，列表改变，张成却不变。剩下的列表是否线性无关，是后面无关性与基笔记研究的另一问题。分清两者，才不会把张成相等误读成系数表示唯一。

先读这些

本节延伸 1.1 方程与解集， 并准备 6.3 线性组合与张成 中使用的集合相等论证。