3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵

动机

学习矩阵乘法之后，矩阵的尺寸与其中的数值同样重要。在乘积里，一行系数与 一列坐标承担不同的角色；许多论证却需要在不改变原有数据的前提下，把一种 角色转换成另一种。转置正是完成这种转换的运算：行变成列，列变成行，矩阵 的尺寸也随之互换。

对方阵而言，交换两个索引可以看成沿主对角线反射。反射后保持不变的矩阵是 对称矩阵；反射后变成自身相反数的矩阵是反对称矩阵。这些条件并非只描述外 观。它们会约束乘积的结构，说明乘法次序为何重要，并给出一种规范的方法， 把任意方阵拆成两个结构更清楚的部分。

本节始终讨论实数矩阵。所有转置恒等式在任意域上都成立；但是，凡是需要除 以 $2$，或由 $a_{ii}=-a_{ii}$ 推出 $a_{ii}=0$ 的结论，都要求 $2$ 非零且可逆。因此，这些结论也适用于任何特征不为 $2$ 的域。在特征为 $2$ 的域上，对称与反对称条件不再彼此不同，相关结论必须另行表述。

转置就是把行与列对调

定义

转置

若 $A = [a_{ij}]$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，则它的转置 $A^T$ 是 $n \times m$ 矩阵，其 $(j,i)$ 位置的元素为 $a_{ij}$。

也就是

$$(A^T)_{ji} = a_{ij}.$$

所以 $A$ 的每一行都会变成 $A^T$ 的一列，而 $A$ 的每一列都会变成 $A^T$ 的一行。

转置不会改变元素本身，只会改变每个元素所在的位置。若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的行索引从 $1$ 到 $m$，列索引从 $1$ 到 $n$； 转置后，这两个索引范围恰好互换。使用任何转置公式之前都应先检查尺寸， 因为只有两边尺寸相同，矩阵等式才有意义。

下面的图解先说明几何图像：转置是索引交换；对方阵来说，这个索引交换就是沿主对角线反射。

把转置看成索引交换与对角线反射，再把这个图像连到对称矩阵、反对称矩阵、乘积反序，以及对称/反对称分解。

1. 索引交换

   A 中的 a_ij 会出现在 A^T 的 (j,i) 位置，因此 m x n 矩阵会变成 n x m 矩阵。

2. 对角线反射

   对方阵来说，转置会保持主对角线不动，并交换主对角线两侧的元素。

3. 对称规则

   若 A^T = A，矩阵就是对称矩阵；也就是每一对非对角元素满足 a_ij = a_ji。

4. 反对称规则

   若 A^T = -A，矩阵就是反对称矩阵；成对元素互为相反数，而且对角元素必为零。

5. 乘积次序

   转置会反转乘积次序：(AB)^T = B^T A^T。次序改变，是因为行乘列配对被整个转向。

6. 两部分分解

   对方阵 A，1/2(A+A^T) 是对称部分，1/2(A-A^T) 是反对称部分，两部分相加会回到 A。

转置会交换两个索引。对方阵来说，这就是沿主对角线反射：对称矩阵让成对元素相等，反对称矩阵让成对元素互为相反数，而每个方阵都可拆成对称部分和反对称部分。

引导式图示比较

下面的互动比较会让你切换几个例子。请一边比较 $A$ 与 $A^T$，一边观察 主对角线两侧的元素如何对应。

例题

计算一个转置

设

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}.$$

则

$$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}.$$

原来的 $2 \times 3$ 矩阵变成 $3 \times 2$，因为行与列的角色对调了。

几条基本恒等式，应当视作本节的核心语言：

$$(A^T)^T = A, \qquad (A + B)^T = A^T + B^T, \qquad (cA)^T = cA^T.$$

若乘积有定义，转置会把次序反过来：

$$(AB)^T = B^T A^T.$$

这个“反序”不是小事，而是行乘列配对被转向之后的必然结果。

例题

转置恒等式的例子

取

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}.$$

则

$$A + B = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}, \qquad (A + B)^T = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}.$$

另一方面，

$$A^T + B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}.$$

乘积也是同样道理，只是次序一定要反过来：

$$AB = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \qquad (AB)^T = \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 10 & 5 \end{bmatrix},$$

而

$$B^T A^T = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 10 & 5 \end{bmatrix}.$$

定理

转置的基本性质

当矩阵相加时，设 $A$ 与 $B$ 尺寸相同；设 $c$ 为标量。当矩阵相乘时， 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵、$B$ 是 $n \times p$ 矩阵。则：

1. $(A^T)^T = A$
2. $(A + B)^T = A^T + B^T$
3. $(cA)^T = cA^T$
4. $(AB)^T = B^T A^T$

前三条性质可以直接比较对应元素得到。乘积公式值得完整证明一次，因为它清楚 解释了乘法次序为何必须反转。

证明

乘积转置公式的逐元素证明

设 $A=[a_{ij}]$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B=[b_{ij}]$ 是 $n \times p$ 矩阵。于是 $AB$ 是 $m \times p$ 矩阵，而 $(AB)^T$ 与 $B^T A^T$ 都是 $p \times m$ 矩阵。对 $1 \le i \le p$、$1 \le j \le m$，第一个矩阵的 $(i,j)$ 元素为

$$\bigl((AB)^T\bigr)_{ij} =(AB)_{ji} =\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}.$$

另一方面，$B^T A^T$ 的 $(i,j)$ 元素为

$$\begin{aligned} (B^T A^T)_{ij} &=\sum_{k=1}^{n}(B^T)_{ik}(A^T)_{kj} \\ &=\sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk} \\ &=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}. \end{aligned}$$

最后一步使用的是标量乘法的交换律，并没有假设矩阵乘法可交换。两边每个对应 元素都相等，所以 $(AB)^T=B^T A^T$。尺寸也能说明为何必须反序：$B^T$ 是 $p \times n$ 矩阵，$A^T$ 是 $n \times m$ 矩阵；$A^T B^T$ 通常甚至没有定义。

转置为何不只是重新排列元素

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$x$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的列向量， $y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的列向量。由于 $Ax$ 属于 $\mathbb{R}^m$， 它可以与 $y$ 作内积。把同一个标量写成矩阵乘积，可得

$$(Ax)^T y=x^T A^T y=x^T(A^T y).$$

第一个等号使用乘积转置公式，第二个等号只使用结合律。因此，在内积中，原先 作用在 $x$ 上的 $A$ 可以转移为作用在 $y$ 上的 $A^T$。后续课程会把 $A^T$ 描述为把线性映射从欧几里得内积的一侧移到另一侧的矩阵。

尺寸说明了两种作用的方向：$A$ 把含 $n$ 个分量的输入送到含 $m$ 个分量的 输出；$A^T$ 则把含 $m$ 个分量的系数向量送回 $n$ 个分量。这不表示 $A^T$ 会撤销 $A$ 的作用；那是逆矩阵的概念。转置只记录行、列交换后，同一 批系数应当怎样读取。在通常的双边逆意义下，矩形矩阵不可能可逆，却一定有 转置；因此，这一区别在正交、投影与最小二乘问题里尤其重要。这个等式也可 用于检查尺寸：若任何一边 不是标量，就表示至少一个矩阵或向量的次序放错了。

对称矩阵与反对称矩阵

定义

对称矩阵与反对称矩阵

设 $A$ 为方阵。

• 若 $A^T = A$，则 $A$ 称为对称矩阵。
• 若 $A^T = -A$，则 $A$ 称为反对称矩阵。

注意这里一定要是方阵。若 $A$ 不是方阵，那么 $A$ 与 $A^T$ 大小都 不同，等式 $A^T = A$ 与 $A^T = -A$ 根本无从谈起。

对称表示沿主对角线反射后不变。反对称表示反射后整个矩阵变号。 逐元素写出，这两个条件分别是

$$A\text{ 对称} \iff a_{ij}=a_{ji}, \qquad A\text{ 反对称} \iff a_{ij}=-a_{ji}$$

对所有索引 $i,j$ 都成立。对角线需要特别留意：若 $A$ 反对称，则 $a_{ii}=-a_{ii}$，所以 $2a_{ii}=0$。在实数范围内，这就强迫 $a_{ii}=0$。特征不为 $2$ 的假设正是在这一步发挥作用。

例题

辨认对称性

矩阵

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

是对称矩阵，因为 $(i,j)$ 与 $(j,i)$ 位置的元素相同。

矩阵

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}$$

是反对称矩阵，因为转置之后每个非对角元素都改变符号，而对角线保持 $0$。

三个直接后果很重要：

• 实数反对称矩阵的对角元素全部都是 $0$
• 零矩阵既对称又反对称
• 单位矩阵是对称矩阵

第三项其实只是“对角矩阵在转置下不变”的特例。

定理

两种常用的转置结构

对每一个方阵 $A$，

$$(A + A^T)^T = A + A^T, \qquad (A - A^T)^T = -(A - A^T).$$

因此 $A + A^T$ 是对称矩阵，而 $A - A^T$ 是反对称矩阵。

证明

为什么成立

直接套用转置公式：

$$(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T.$$

至于差，

$$(A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T).$$

上一结果是最重要结构定理的起点。

定理

分解为对称部分与反对称部分

每一个实数方阵 $A$ 都可以唯一写成

$$A = S + K,$$

其中 $S$ 是对称矩阵，$K$ 是反对称矩阵。事实上，

$$S = \frac{1}{2}(A + A^T), \qquad K = \frac{1}{2}(A - A^T).$$

这个结论同时包含存在性与唯一性。仅仅列出公式还不够，必须分别验证两部分。

证明

分解的存在性与唯一性

先证明存在性。定义

$$S=\frac12(A+A^T), \qquad K=\frac12(A-A^T).$$

由前面的转置恒等式可知 $S^T=S$、$K^T=-K$，所以 $S$ 对称而 $K$ 反对称；并且

$$S+K =\frac12(A+A^T)+\frac12(A-A^T) =A.$$

因此这样的分解确实存在。再证明唯一性。假设某个对称矩阵 $S$ 与某个反对称 矩阵 $K$ 满足 $A=S+K$。两边取转置并使用各自的定义，得到第二条方程

$$A^T=S^T+K^T=S-K.$$

把 $A=S+K$ 与 $A^T=S-K$ 相加、相减，分别得到

$$A+A^T=2S, \qquad A-A^T=2K.$$

因为在实数范围内 $2$ 可逆，所以必有

$$S=\frac12(A+A^T), \qquad K=\frac12(A-A^T).$$

任何分解都只能使用这两个矩阵，唯一性因此得到证明。相同证明适用于任何特征 不为 $2$ 的域。

例题

把矩阵分解成两部分

设

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}.$$

则

$$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}.$$

所以

$$\frac{1}{2}(A + A^T) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{bmatrix},$$

而

$$\frac{1}{2}(A - A^T) = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -\frac{3}{2} \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}.$$

第一个矩阵是对称矩阵，第二个矩阵是反对称矩阵，而二者相加正好回到 $A$。

矩阵与自身的转置相乘时，还会产生一种很有用的对称结构。它能把矩形矩阵转成 方阵，并分别记录行或列之间的关系。

定理

含转置的乘积是对称的

只要乘积有定义，$A^T A$ 和 $A A^T$ 都是对称矩阵。

证明

取转置证明

若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $A^T A$ 是 $n \times n$ 矩阵， $AA^T$ 是 $m \times m$ 矩阵，所以二者在尺寸上都可能对称。对第一个乘积，

$$(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A.$$

对第二个乘积，

$$(AA^T)^T=(A^T)^T A^T=AA^T.$$

两个乘积都等于自身的转置，因此按照定义都是对称矩阵。

这也是转置在后续的正交、投影和最小二乘论证里反复出现的原因之一。例如， 当 $x$ 是尺寸相容的实列向量时，

$$x^T A^T A x=(Ax)^T(Ax)=\lVert Ax\rVert^2\ge 0.$$

所以 $A^T A$ 会记录向量经过 $A$ 作用后的长度信息。转置由此与几何联系起 来，而不再只是元素位置的重排。

可交换与不可交换的矩阵

定义

可交换矩阵

若两个同阶方阵 $A$ 和 $B$ 满足

$$AB = BA,$$

则称它们可交换。

对加法而言，可交换性是预设；对乘法而言，可交换性却是特例。这是矩阵代 数与标量代数最重要的差别之一。

零矩阵与单位矩阵都会和任何同大小方阵可交换。相同大小的对角矩阵彼此也可 交换，因为它们的乘积仍是对角矩阵，而且对角元素相乘本身就交换。

转置可以准确检验结构化矩阵的乘积能否保留原有结构。若 $A$ 与 $B$ 都对称， 则 $(AB)^T=BA$，所以 $AB$ 对称当且仅当 $AB=BA$。若两个矩阵都反对称， 两个负号互相抵消，仍会得到 $(AB)^T=BA$。相比之下，若 $S$ 对称、$K$ 反对称，则 $(SK)^T=-KS$；因此当 $SK=KS$ 时，乘积 $SK$ 是反对称矩阵， 而不是对称矩阵。

例题

一对不可交换的矩阵

取

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$

则

$$AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$$

因此 $AB \ne BA$。

这种例子不是小插曲，而是提醒我们：矩阵恒等式里，因子的次序绝不能乱改。

定理

反对称矩阵的可交换测试

若 $A$ 和 $B$ 都是同阶反对称方阵，则

$$AB \text{ 对称 } \iff AB = BA.$$

证明

为什么成立

因为 $A^T = -A$ 与 $B^T = -B$，

$$(AB)^T = B^T A^T = (-B)(-A) = BA.$$

所以 $AB$ 对称，等价于 $(AB)^T = AB$，而这又等价于 $BA = AB$。

例题

对称矩阵与反对称矩阵的组合

设

$$S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad K = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}.$$

这里 $S$ 是对称矩阵，$K$ 是反对称矩阵，但二者不交换：

$$SK = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}, \qquad KS = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}.$$

若一个对称矩阵 $S$ 与一个反对称矩阵 $K$ 可交换，则它们的乘积是反对称矩阵，因为

$$(SK)^T = K^T S^T = (-K)S = -KS = -SK.$$

常见错误

常见错误

转置乘积时，次序一定反转

正确公式是 $(AB)^T = B^T A^T$，不是 $A^T B^T$。

常见错误

对称不等于可交换

对称是单一矩阵的性质，可交换是两个矩阵之间的性质。两者不是同一件事。

常见错误

零对角线不能保证矩阵反对称

若 $A^T=-A$，所有对角元素一定是 $0$，但反过来并不成立。例如， $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 的对角线为零，却是对称矩阵而不是反对称矩阵；还必须检查 所有非对角元素是否满足 $a_{ij}=-a_{ji}$。

常见错误

转置不等于求逆

转置总是存在，并且只交换两个索引。逆矩阵只对某些方阵存在，而且必须满足 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。因此 $A^T$ 与 $A^{-1}$ 表示不同的运算，尽管后续 会遇到二者恰好相等的特殊矩阵。

总结

转置交换矩阵的两个索引，把 $m \times n$ 矩阵变成 $n \times m$ 矩阵， 并反转乘积中因子的次序。对称矩阵与反对称矩阵都是方阵，分别由 $A^T=A$ 与 $A^T=-A$ 刻画；在实数范围内，后一条件还会强迫对角线全部为零。

公式

$$\frac12(A+A^T) \quad\text{与}\quad \frac12(A-A^T)$$

并非偶然的计算技巧。它们是由 $A=S+K$ 与 $A^T=S-K$ 两条方程解出的、 唯一确定的对称部分与反对称部分。$A^T A$ 这类乘积自动对称；两个具有特定 结构的方阵相乘时，则可能需要可交换性，乘积才能保留对称或反对称结构。这些 思想为后续的正交、二次型、投影与最小二乘问题准备了代数基础。

快速检查

思考检查

若 $A$ 是 $3 \times 2$ 矩阵，$A^T$ 的大小是什么？

把行与列对调。

解答 · 答案

$A^T$ 是 $2 \times 3$ 矩阵。

思考检查

实数反对称矩阵的对角元素必须是什么？

把 $A^T = -A$ 套在对角位置。

解答 · 答案

全部都必须是 $0$。

思考检查

哪一条公式正确：$(AB)^T = A^T B^T$ 还是 $(AB)^T = B^T A^T$？

比较等式两边的任意一个元素，或用一对不交换的方阵检验。

解答 · 答案

$(AB)^T = B^T A^T$。

思考检查

若 $S$ 是对称矩阵，$K$ 是反对称矩阵，则 $S^T$ 和 $K^T$ 各是多少？

直接读定义。

解答 · 答案

$S^T = S$，$K^T = -K$。

引导练习

思考检查

把 $A = \begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$ 分解成对称部分与反对称部分。

使用 $S = 1/2 (A + A^T)$ 及 $K = 1/2 (A - A^T)$。

解答 · 引导解答

先算

$$A^T = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

再算

$$S = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 3 \end{bmatrix},$$

以及

$$K = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 \end{bmatrix}.$$

检查 $S$ 是否对称、$K$ 是否反对称，最后确认 $A = S + K$。

思考检查

若 $A$ 与 $B$ 都是对称矩阵，而 $AB = BA$，为什么 $AB$ 也是对称矩阵？

使用转置公式与可交换假设。

解答 · 引导解答

因为

$$(AB)^T = B^T A^T = BA = AB.$$

所以 $AB$ 等于自己的转置，正是对称矩阵的定义。

思考检查

若 $A$ 是方阵，请用文字解释：为什么 $A + A^T$ 一定是对称矩阵？

不必写完整证明，但必须提到转置。

解答 · 引导解答

因为 $(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T$， 所以这个矩阵等于自己的转置，因此一定是对称矩阵。

思考检查

若 $A$ 是方阵，请用文字解释：为什么 $A - A^T$ 一定是反对称矩阵？

重点仍然是取一次转置后会发生什么。

解答 · 引导解答

因为 $(A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T)$， 所以它的转置恰好等于原矩阵的相反数，因此一定是反对称矩阵。

相关笔记

本节建立在 3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组 之上。接着可以读 3.4 特殊矩阵，研究对角、三角、单位与初等矩阵家族。