4.3 完備性與 Q 的缺口

完備性是一種存在性要求

上一節介紹了 supremum 與 infimum。完備性要問的是：在「應該」存在這些 極值界的情況下，它們是否真的存在？

這是 $Q$ 與 $R$ 真正分開的第一個地方。從代數角度看，$Q$ 已經很強： 它是一個域，也有熟悉的全序。但從次序結構看，$Q$ 仍然會漏掉某些本該 出現的邊界點。

定義

定義

完備有序集

有序集 $X$ 稱為完備，如果：

• 每個在 $X$ 中有上界的非空子集 $Y\subseteq X$ 都有 supremum；
• 每個在 $X$ 中有下界的非空子集 $Y\subseteq X$ 都有 infimum。

所以，完備性不是說元素很多，而是說：只要某個非空有界子集理應擁有最 小上界或最大下界，這些界就真的存在於同一個環境集合裡。

例題

有限全序集一定完備

若 $X$ 是有限全序集，則其每個非空子集都已經有最大元素與最小元素。這 兩個元素自然就是 supremum 與 infimum。

因此，有限全序集之所以完備，是因為所需的極端元素本來就在集合裡被取 到。

真正有趣的問題，是像 $Q$、$R$ 這樣的無限有序集。

有理數裡的經典反例

標準反例是

$$S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}.$$

這個集合非空，因為 $1\in S$。它也在 $Q$ 中上有界，例如 $2$ 就是一個 上界。

若 $Q$ 是完備的，會發生甚麼？那麼 $S$ 應該在 $Q$ 中有 supremum。以下 整個論證正是在說：沒有任何有理數可以充當這個角色。

定理

Q 不是完備的

有序集 $(Q,\le)$ 不是完備的。

為甚麼沒有有理數能當作 sup(S)

若 $s$ 是上界，由於 $1\in S$，必有 $s\ge1$。特別地，$s\le0$ 不可能 是上界。因此比較平方以前，可以把上確界候選限制為正有理數。

兩種有理擾動

設 $s\in Q$ 且 $s\gt 0$。若 $s^2\lt 2$，令 $M=2-s^2$，並明確選擇

$$h=\frac12\min\left\{1,\frac{M}{2s+1}\right\}\gt 0.$$

這是正有理數，且 $h\lt 1$、$h\lt M/(2s+1)$，所以

$$(s+h)^2=s^2+h(2s+h)\lt s^2+M=2.$$

於是 $s+h\in S$ 且 $s+h\gt s$，故 $s$ 不是上界。

若 $s^2\gt 2$，令 $M=s^2-2$，並選擇

$$h=\frac12\min\left\{s,\frac{M}{2s}\right\}\gt 0.$$

此時 $r=s-h\gt 0$，而且

$$r^2=s^2-2sh+h^2\gt s^2-2sh\gt 2.$$

每個 $x\in S$ 都滿足 $x\lt r$：否則 $x\ge r\gt 0$ 會推出 $x^2\ge r^2\gt 2$，矛盾。因此 $r$ 是比 $s$ 更小的上界，違反最小性。 這裏 $r\gt 0$ 不可省略；負有理數即使平方大於 $2$，也不是 $S$ 的上界。

最後，前面的奇偶性證明排除了有理數 $s$ 滿足 $s^2=2$ 的可能。這些 情形窮盡正有理候選，所以 $S$ 在 $Q$ 中沒有上確界。整個證明只使用 有理數運算，沒有假設實數平方根或完備性。

完備性不等於最大性

「最大元」描述的是集合成員資格，而完備性描述的是界的存在原則。最大元 必須屬於子集；上確界則可能是環境集合中的端點，而子集始終達不到它。 反過來，即使環境有序集不完備，某個具體集合仍可能有上確界。完備性說 的是：環境中的每個非空有界集合都不會缺少這樣的邊界。

定理

有限全序與完備性

每個有限全序集都是完備的，因為每個非空子集都有最大元與最小元。這個有 限論證不能推廣到任何無限有序集：無限集合可能有不被取到的清晰邊界，也 可能有一個在環境集合中根本不存在的有界子集邊界。

例題

一個明確的有限全序計算

令 $X=\{-2,0,3\}$ 帶通常次序，$Y=\{-2,3\}$。在環境 $X$ 中，$Y$ 的唯一 上界是 $3$，所以 $\sup_X(Y)=3$；唯一下界是 $-2$，所以 $\inf_X(Y)=-2$。兩者都屬於 $Y$，因此都被取到。若改令 $Z=\{0,3\}\subseteq X$，它在 $X$ 中的上界仍只有 $\{3\}$，但下界是 $\{-2,0\}$。環境集合決定界的列表，而最大元與最小元仍由子集成員資格 決定。

例題

有下確界卻沒有最小元

正有理數集合 $Q_{>0}$ 沒有最小元：任給 $q>0$，$q/2$ 仍是正數 而且更小。然而 $0$ 是它在 $Q$ 中的下確界。確實，$0$ 是下界；若下界 $\ell>0$，則下界條件會要求 $\ell\le\ell/2$，這是不可能的。因此 $\inf_Q(Q_{>0})=0$，但最小元不存在。這正是成員資格差異的體現；後面 $S$ 在實數中有上確界，卻不含 $\sqrt 2$，也是同一種邏輯。

稠密不等於完備

很多人此時會直覺地說：

「可是在任意兩個有理數之間，都還能找到更多有理數；這樣還不夠嗎？」

這句話把兩件事混在一起了：

• 稠密是指：兩個不同有理數之間，總能再找到另一個有理數；
• 完備是指：每個非空有界子集，都在同一個環境裡擁有正確的最小上 界與最大下界。

集合 $S$ 正好說明：即使邊界附近有無窮多個有理逼近，也仍可能缺少真正 的 supremum。

常見錯誤

逼近不等於真的擁有邊界點

$Q$ 中確實有愈來愈接近 $\sqrt{2}$ 的有理數，但這並不代表 $Q$ 已經包含 了 $S$ 的最小上界。愈來愈好的近似，仍然弱於真正擁有那個邊界點。

把擾動證明看成完備性檢驗

上面的兩種擾動不只是這個多項式的技巧，而是檢驗候選最小上界的一般方 法。候選 $s$ 可能從兩個方向失敗：若目標還在 $s$ 上方，就取向上擾動 $s+h$，它仍屬於集合，從而擊敗 $s$ 作為上界；若候選太高，就取向下擾動 $s-h$，它仍是上界，從而擊敗 $s$ 作為最小上界。真正的邊界必須同時經得 起這兩種檢驗，因而正好處在兩種情形的分界上。

在平方條件中，這個分界是 $s^2=2$。證明先用 $1\in S$ 說明所有上界候選 都為正。這一步不可省略，因為 $x\mapsto x^2$ 在整個 $Q$ 上並不遞增；在 比較平方前必須先知道候選與相關見證非負。在第二種情形中，還要證明 $r=s-h>0$；否則由 $x\ge r$ 不能推出 $x^2\ge r^2$。

因此，完整證明的次序是：先證明集合非空並給出明確上界；再利用集合中的 簡單元素限制候選；然後窮盡代數情形；第一種情形構造嚴格更大的元素， 第二種構造更小的上界；最後用有理數奇偶性排除等號情形。只說「數值愈來 愈接近 $2$」並不足夠，因為這沒有證明每個較小有理數都會被集合中的元素 擊敗。

例題

端點屬於集合的有界有理集合

令 $T=\{q\in Q:0\lt q\le1\}$。$1$ 屬於 $T$ 且是上界，因此它是最大元，並有 $\sup_Q(T)=1$。$0$ 是下界。若 $\ell>0$ 是另一個下界，當 $\ell\le1$ 時， $\ell/2$ 屬於 $T$ 且小於 $\ell$，與下界條件矛盾；當 $\ell>1$ 時，集合中的 $1$ 已經與 $\ell\le1$ 矛盾。因此 $\inf_Q(T)=0$，而 $T$ 沒有最小元。 這個例子故意接近 $\sqrt{2}$ 集合：使用相同的界語言，但端點 $1$ 是有理數 且確實屬於集合，所以沒有完備性缺口。

這正好說明完備性公理的內容。它並不說每個子集都有最大元或最小元，而是 說：若非空子集在指定環境中有界，那麼該環境中存在最佳上界或下界。對 $S$ 來說，實數邊界存在於 $R$，有理邊界卻不存在於 $Q$；稠密性提供近似 點，完備性才提供缺失的環境邊界。

環境的限定也能從記號看出。$T$ 滿足 $\sup_Q(T)=1$，放進 $R$ 後仍滿足 $\sup_R(T)=1$，因為 $1$ 是有理數且上界比較沒有改變。但對平方根集合， 寫 $\sup_Q(S)$ 就是在斷言一個有理邊界，結論為假；寫 $\sup_R(S)$ 則是在 完備實數線上斷言邊界存在，結論為真。上確界記號記錄了邊界必須位於哪 個環境中，絕不是集合記號後的裝飾。

反過來，某一個集合有上確界，也不能推出它的環境完備。前面幾何和集合在 $Q$ 中有理上確界，但 $Q$ 仍非完備。完備性必須對每個非空有界子集量化， 包括那些沒有明顯公式描述邊界的集合；$\sqrt{2}$ 例子正是這種全稱斷言失 敗的證據。

這正是完備性所回答的邊界問題：最佳界必須存在於指定環境中。 它是關於環境有序集的存在性斷言，而不是關於元素多少的斷言。 邊界位置必須明確，環境不可省略，證明要完整。

快速檢查

思考檢查

為甚麼 2 是 $S=\{x\in Q:x^2<2\}$ 的上界？

若 x>2，x^2 會變成甚麼？

解答 · 答案

若 $x\gt 2$，則 $x^2\gt 4\gt 2$，所以這樣的 $x$ 不可能屬於 $S$。因此 $S$ 的每 個元素也不超過 $2$，故 $2$ 是上界。

思考檢查

為甚麼 Q 的稠密性不能推出 Q 的完備性？

用一句嚴謹的話回答。

解答 · 答案

稠密性只保證相鄰有理數之間還能再插入有理數；完備性則要求每個非空有 界子集都在 $Q$ 內擁有最小上界。集合 $S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}$ 雖有無窮 多接近邊界的有理近似，卻仍然沒有有理 supremum。

練習

思考檢查

解釋為甚麼每個有限全序集都是完備的。

利用有限非空子集一定能取到最大與最小元素。

解答 · 引導解答

取有限全序集 $X$ 的任一非空子集 $Y$。由於 $Y$ 有限，我們總能逐一比 較並找出最大的元素與最小的元素。這兩個元素分別就是 $Y$ 的 maximum 與 minimum，因此也就是 $\sup(Y)$ 與 $\inf(Y)$。所以有限全序集一定完 備。

思考檢查

假設 Q 是完備的，那麼集合 $S=\{x\in Q:x^2<2\}$ 會被迫滿足甚麼？為甚麼這不可能？

直接把完備性的定義套到這個反例上。

解答 · 引導解答

若 $Q$ 完備，則每個在 $Q$ 中上有界的非空子集都必有 supremum。集合 $S$ 非空且上有界，所以它必須有某個有理數 $s$ 滿足 $s=\sup(S)$。但上 面的三情況論證說明，沒有任何有理數可以做到這件事。因此 $Q$ 不可能 是完備的。

相關筆記

可先讀 3.5 Q 的缺口與 sqrt(2) 及 4.2 上下界、上確界與下確界。 之後可接著讀 4.4 實數公理與第一次近似構造。