4.6 小數展開與無理數

為甚麼引入分割之後又回到小數？

讀完 4.5 之後，一個很自然的反應是：

「Dedekind 分割是可行，但為甚麼偏偏是這個構造？」

完備有序域的唯一性從結構層面回答了這個疑問。重點不是說 Dedekind 分割是唯一能想出 來的構造，而是：只要某個構造真的做出一個完備有序域，那它在數學意義 上做出來的就是實數。

這個構造的結構邊界

唯一性定理說明，完備的分割模型就是熟悉的實數系統：

定理

完備有序域在同構意義下只有一個

一個重要事實是：作為完備有序域，實數是唯一的。所以 Dedekind 分割不 是熟悉實數線的競爭版本，而是它的一個嚴格模型。

任意兩個完備有序域都存在保持次序與域運算的同構。因此，只要一個構造滿足 完備有序域公理，它就在結構意義上得到實數系統。這個定理是本課程明確的 證明邊界：本頁用它解釋不同嚴格構造為何描述同一個實數系統，但不在本課 證明唯一性定理。

由小數展開得到分割

考慮一個非正式的小數展開

$$x=10.4352902543\ldots$$

先從它造出兩族有理數。

先看由下逼近：

$$S=\{10,\ 10.4,\ 10.43,\ 10.435,\ldots\}.$$

然後定義

$$A=\{q\in Q\mid \exists s\in S\text{ 使得 }q\lt s\}.$$

再看由上逼近：

$$T=\{11,\ 10.5,\ 10.44,\ 10.436,\ldots\}.$$

然後定義

$$B=Q\setminus A=\{q\in Q\mid \forall s\in S,\ s\le q\}.$$

主張是：$(A,B)$ 就是一個 Dedekind 分割。也就是說，一個熟悉的 小數展開可以被轉換成上一頁引入的那種邊界對象。

例題

最初幾層的小數圍欄

由上面的展開，我們立刻得到一串套疊的有理區間：

$$10\lt x\lt 11,$$$$10.4\lt x\lt 10.5,$$$$10.43\lt x\lt 10.44,$$$$10.435\lt x\lt 10.436.$$

集合 $A$ 收進所有已經被確認在某條下方圍欄以下的有理數；集合 $B$ 是 所有下方圍欄的有理上界集合，包含有理邊界本身。

為甚麼這真的是一個 Dedekind 分割

用單集合版本的定義最容易檢查。

• $A$ 非空，因為例如 $9\lt 10$，所以 $9\in A$。

• $A$ 不是整個 $Q$，因為 $T$ 裡的每條上方圍欄都嚴格高於 $S$ 裡每條下 方圍欄，所以像 $11$ 這種數不可能落在任何一條下方圍欄之下。

• $A$ 向下封閉：若 $q\lt s$ 對某個 $s\in S$ 成立，而 $y\lt q$，那麼 $y\lt s$ 也成立，所以 $y\in A$。

• $A$ 沒有最大元素：若 $q\in A$，挑一個 $s\in S$ 使 $q\lt s$，再令

  $$r=\frac{q+s}{2}.$$

  就有 $q\lt r\lt s$，所以 $r\in A$。

因此，這個小數展開確實被轉成了 cut 模型中的一個真正實數。

這正好體現了第 4 章的整體方法：看似非正式的描述，只要改寫成有理數次序 資料，就能變成嚴格數學對象。

一般地，對整數部分 $k\in Z$ 和數字 $d_j\in\{0,\ldots,9\}$，定義

$$t_n=k+\sum_{j=1}^n d_j10^{-j},\qquad u_n=t_n+10^{-n},\qquad n\ge0.$$

$n=0$ 時取空和。令 $S=\{t_n:n\ge0\}$、$T=\{u_n:n\ge0\}$。 有限位值運算給出 $t_m\lt u_n$，下圍欄非遞減，上圍欄非遞增。上面的 四個條件同樣適用：$k-1\in A$，而 $k+1\notin A$。$B$ 必須取 $A$ 的補集，即所有下圍欄的有理上界；若改成嚴格高於某個上圍欄，會把 $1.25000\ldots$ 這樣的有理邊界從兩邊同時遺漏。給定 $\varepsilon\gt 0$， 選擇 $n\gt 1/\varepsilon$ 並使用 $10^n\ge n$，可得 $10^{-n}\lt \varepsilon$。 所以這種構造也涵蓋終止小數和全為九的尾部。

由分割反推出小數展開

一個反向練習是：給定一個 Dedekind 分割，如何產生 對應的小數展開？

想法其實很系統。

1. 先找整數部分，也就是找出使嵌入分割 $m_R\le A$ 成立的最大整數 $m$。
2. 再測試十分位，保留其嵌入分割仍滿足 $q_R\le A$ 的最大候選。
3. 接著測試百分位、千分位，如此類推。

每一步，你都在選擇「嵌入分割不大於 $A$ 的最大十進位截斷」。這會產生一串 愈來愈窄的有理區間，而它們的寬度趨向 $0$。

所以在這套理論裡，小數位不是實數的原始定義；它是從分割透過重複逼近所 恢復出來的表示法。

例題

用分割尋找 $\sqrt2$ 的小數位

一旦 $\sqrt2$ 的分割被建立，我們可以比較平方並得到

$$1\lt \sqrt2\lt 2,$$$$1.4\lt \sqrt2\lt 1.5,$$$$1.41\lt \sqrt2\lt 1.42,$$$$1.414\lt \sqrt2\lt 1.415.$$

這些有理圍欄正是熟悉的小數展開 $1.414\ldots$ 的開頭。

圖：每揭示多一位小數，便得到更窄的一條有理區間，而 $\sqrt{2}$ 始終留 在所有這些區間裡。

逐步收窄有理區間

下面的 builder 會逐位揭示小數，並同步更新下界、上界與區間寬度，讓你看 到「小數展開」其實是在構造一串愈來愈緊的有理圍欄。

無理數

定義

無理數

一個 無理數 是 $R\setminus Q$ 裡的元素，也就是 $r\in R$ 但 $r\notin Q$。

所以「無理」並不表示神祕、未定義，或無法描述；它只表示這個實數不是任 何一個有理 cut $q_R$。

定義 $\sqrt2$ 的分割

令

$$C=\{r\in Q:r\le0\text{ 或 }r^2\lt 2\},\qquad Q\setminus C=\{r\in Q:r\gt 0\text{ 且 }r^2\gt 2\}.$$

補集的等式使用了有理平方不等於 $2$ 的結論。$C$ 非空，因為 $1\in C$； 它是真子集，因為 $2\notin C$。向下封閉也成立：非正成員以下全被包括， 正成員以下的正有理數平方更小。非正成員可用 $1$ 超過，正成員可用 4.3 的有理擾動超過。因此 $C$ 沒有最大元，確實是分割。它包含 $0_R$ 並且還包含 $1$，所以是嚴格正的分割。

驗證 C 的平方確實等於 2_R

使用 4.5 的非負乘積分割定義。負有理數屬於 $2_R$。若非負 $a,b\in C$，當 $a\le b$ 時有 $ab\le b^2\lt 2$；另一種次序同理。 因此 $C\cdot C\subseteq2_R$。

反過來，負有理數已經包括在乘積中。任取有理數 $0\le z\lt 2$，選擇 有理數 $0\lt \delta\lt \min\{1,(2-z)/5\}$。從 $1\in C$ 開始應用 4.5 的有理步進論證，得到 $a\in C$、$b=a+\delta\notin C$ 且 $a\ge1$。 於是 $a\lt 2$、$b\lt 3$，而 $b^2\gt 2$，故

$$2-a^2\lt b^2-a^2=\delta(a+b)\lt 5\delta\lt 2-z.$$

所以 $z\lt a^2$。令 $c=z/a$，則 $0\le c\lt a$，故 $c\in C$，而 $z=ac\in C\cdot C$。這證明 $C\cdot C=2_R$。

例題

為甚麼這個分割是無理的

若 $C=q_R$，其邊界必有 $q\gt 0$。若 $q^2\lt 2$，則 $q\in C$，但 $q\notin q_R$，矛盾。若 $q^2\gt 2$，4.3 的向下擾動給出正有理數 $r\lt q$ 且 $r^2\gt 2$，於是 $r\in q_R$ 卻不屬於 $C$，仍然矛盾。 等號 $q^2=2$ 在 $Q$ 中不可能。因此 $C$ 不是有理分割；我們把這個 平方為 $2_R$ 的正分割記作 $\sqrt2$。

常見錯誤

無理數不是『沒有精確意義的數』

在 cut 模型裡，無理數和有理數一樣精確。差別只在於：沒有任何一個有理邊 界點能夠把它完全抓住而已。它本身仍是一個完全精確的 Dedekind 分割。

常見錯誤

小數展開在這裡是結果，不是原始定義

這裏並沒有否定小數記號，而是在解釋它。先有作為嚴格對象的分割，然後 才由分割透過反覆逼近恢復出小數展開。

小數表示的非唯一性與循環性

小數是表示方式，所以在把它當作定義前，必須檢查它是否唯一。基本例子是

$$0.999\ldots=1.$$

截斷值 $0.9$、$0.99$、$0.999$ 與 $1$ 的差分別是 $10^{-1}$、 $10^{-2}$、$10^{-3}$。給定任何 $\varepsilon\gt 0$，取 $n$ 使 $10^{-n}\lt \varepsilon$。對任何 $u\lt 1$，取 $\varepsilon=1-u$，便知每個 $u\lt 1$ 都被某個截斷 $1-10^{-n}$ 超過。因此 $1$ 是 所有截斷的上確界，對應分割恰為 $1_R$。若要 使用唯一的小數字串，就必須排除全是 $9$ 的尾部。

定理

最終循環小數是有理數

若小數在前 $m$ 位後出現長度為 $k$ 的循環區塊，把它分別乘以 $10^{m+k}$ 與 $10^m$，兩條等式的循環尾部會對齊。相減後得到一個 非零整數係數乘以 $x$ 等於整數的方程，所以 $x$ 是整數之比。這只證明 最終循環小數為有理數，並不聲稱每個無限小數都循環。

定理

正的終止小數也有全九尾部表示

例如 $1.25000\ldots=1.24999\ldots$。對最後一個非零數字所在的位（也包括整數位）減去一個該位單位，並在其後接全九尾部，尾部的值正好補回 所減的單位。這是縮放後的 $0.999\ldots=1$，因此兩種展開表示同一個數。

例題

把 $0.\overline{27}$ 化為分數

設 $x=0.272727\ldots$。則 $100x=27.272727\ldots$，相減得到 $99x=27$，所以 $x=27/99=3/11$。循環尾部在有限次相減後消失。

例題

非循環小數仍然可以是實數

$\sqrt{2}$ 的小數展開不是最終循環的，但它的有限截斷和下一位上界形成 巢狀的有理區間；Archimedean 估計保證區間寬度趨於零，相關 cut 給出一個 實數邊界。無理性表示它不是有理元素，不表示它不是實數。

反過來：有理數產生循環小數

前面的相消論證證明了「最終循環小數是有理數」。反方向同樣來自有限性。 把最簡分數 $a/b$（$b\gt 0$）做長除法，每一步記錄餘數；餘數只能是 $0,1,\ldots,b-1$。餘數變為 $0$ 時小數終止；否則有限多個餘數中必有 一個重複。從第一次出現重複餘數的位置起，數字就永久循環。因此每個 有理數都有終止或最終循環的小數展開。

定理

有理性與最終循環性等價

在把 $0.999\ldots$ 與 $1$ 這類兩種表示視為同一個數後，十進制實數是 有理數，當且僅當它的展開終止或最終循環。

把一般實數化為小數部分

對任意 $x\in R$，Archimedean 性質給出整數 $k$，使 $k\le x<k+1$。 這個整數唯一：若另一個整數 $\ell$ 也滿足條件，$k<\ell$ 會推出 $k+1\le\ell\le x$，矛盾；反方向同理。令 $y=x-k$，便有 $0\le y<1$。 先構造 $y$ 的小數位，再把 $k$ 加回每個截斷值，就能保留相同的誤差寬度。

例題

用取整函數構造小數位

對 $y\in[0,1)$、$n\ge1$，定義 $d_n=\lfloor10^n y\rfloor-10\lfloor10^{n-1}y\rfloor$。則 $d_n\in\{0,\ldots,9\}$，而截斷值 $t_n=\lfloor10^n y\rfloor/10^n$ 滿足 $t_n\le y<t_n+10^{-n}$。 因此 $k+t_n\le x<k+t_n+10^{-n}$；這些數字為每個實數給出帶有明確誤差界 的巢狀有理區間，不依賴把無限數字串當成現成對象。

數字公式需要兩項檢查。令 $m=\lfloor10^{n-1}y\rfloor$，由 $m\le10^{n-1}y<m+1$ 得到 $10m\le10^ny<10m+10$。取整後有 $10m\le\lfloor10^ny\rfloor\le10m+9$；減去 $10m$ 便證明 $d_n$ 是十個 容許數字之一。其次，加權的數字和會逐項相消：

$$\sum_{j=1}^n d_j10^{-j} =10^{-n}\lfloor10^ny\rfloor-\lfloor y\rfloor =10^{-n}\lfloor10^ny\rfloor=t_n.$$

最後一步使用 $0\le y<1$。因此數字構造確實還原了下方近似，並不只是列出 一串容許數字。對負的 $x$，$x=k+y$ 是整數加小數部分的分解，例如 $-1.25=-2+0.75$；不能把 $k$ 的負號與 $y$ 的數字直接拼接來讀。

例題

有理但不終止的展開

$1/3$ 不能有終止小數，因為最簡分母只含因子 $2$ 和 $5$ 才可能終止。 長除法得到 $0.333\ldots$；重複餘數 $1$ 正好解釋了循環。

常見錯誤

不終止不等於無理

$1/3=0.333\ldots$ 是有理數，因為數字最終循環。無理性要求不最終循環， 或需要另一個獨立證明，不能只因為數字無限就下結論。

快速檢查

思考檢查

對有限小數 $1.25000\ldots$，$1.25$ 屬於分割的 $A$ 還是 $B$？請由定義解釋。

考慮所有下方近似，包括等於邊界的那些。

解答 · 答案

每個下方近似都不超過 $1.25$，所以 $1.25$ 屬於所有下方近似的有理上界集 $B$。它不屬於 $A$，因為沒有下方近似嚴格大於 $1.25$。把 $B$ 定義為 $A$ 的補集，正好保留了這個有理邊界。

練習

思考檢查

寫出非正式小數 $3.14159...$ 所提示的前四個下方與上方有理圍欄。

從整數區間開始，每次再揭示一位小數。

解答 · 引導解答

一種可能的鏈是

$$3\lt x\lt 4,$$$$3.1\lt x\lt 3.2,$$$$3.14\lt x\lt 3.15,$$$$3.141\lt x\lt 3.142.$$

每一步都把目標限制在更窄的有理區間內。

思考檢查

從非正式小數 $2.718...$ 出發，寫出前四個下方逼近、前四個上方逼近，並定義對應的 $A$ 與 $B$。

完全照同一個模式去寫。

解答 · 引導解答

一種自然寫法是

$$S=\{2,\ 2.7,\ 2.71,\ 2.718,\ldots\},$$

以及

$$T=\{3,\ 2.8,\ 2.72,\ 2.719,\ldots\}.$$

然後定義

$$A=\{q\in Q\mid \exists s\in S\text{ 使得 }q\lt s\},$$

以及

$$B=Q\setminus A=\{q\in Q\mid \forall s\in S,\ s\le q\}.$$

在顯示出的階段之後，確切還有甚麼小數位並不重要；重要的是這些由下逼近 會遞增、由上逼近會遞減，而且它們夾住同一個實數。

思考檢查

為甚麼分割 $C=\{r\in Q:r\le0\text{ 或 }r^2\lt2\}$ 表示無理數？

使用前面已證明的有理平方結論。

解答 · 引導解答

若該分割等於某個有理 cut $q_R$，其邊界就會滿足 $q^2=2$。但沒有有理數的 平方等於 $2$，所以該分割不是有理分割，而是無理數。

思考檢查

假設你已經知道某個 cut 的前 $k$ 位小數，下一位應該如何選？

用概念性語言描述，不必正式證明。

解答 · 引導解答

考慮下一位可能的十個數字 $0,1,\ldots,9$。對每個候選，把它加到目前的 小數截斷後面，形成新的有理數。選出其中嵌入分割滿足 $q_R\le A$ 的最大候選。 這就給出下一個由下的小數逼近，而由上的逼近則是在同一位上比它大一單位。

相關筆記

請先讀 4.5 Dedekind 分割與 Q 的嵌入。 這兩頁一起完成了第 4 章裡最核心的一步：由 $Q$ 中缺失的 supremum，走到 由有理近似支撐的實數正式構造。