5.2 Cauchy 序列與另一個實數模型

上一頁用一個已知的極限 $L$ 來定義收斂。這一頁要問一個更深的問題：

如果我們還未先知道那個極限是一個現成存在的實數，能否仍然看出一個序列 正在「收斂」？

這個問題把我們帶到 Cauchy 序列，亦帶到實數的第二種構造方式。

為甚麼需要一個內部的收斂測試？

考慮不斷加入更小分數所得到的有理逼近：

$$1,\qquad 1+\frac12,\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2},\qquad 1+\frac12+\frac1{3\cdot 2}+\frac1{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1},\ \ldots$$

準確地說，指標 $n\ge0$ 對應的項是 $x_n=\sum_{k=1}^{n+1}1/k!$。每一項都可以用有理數運算計算。若要指出一個實數極限，還需要存在性論證；單憑這張列表不能完成論證。

因此，我們不先問「它是否接近某個外在的 $L$」，而是先問：

這個序列的後面那些項，是否彼此愈來愈接近？

在以下有理數構造中，$x_n\in\mathbb Q$、$\varepsilon\in\mathbb Q_{\gt 0}$，且 $N\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$。稍後會明確使用已構造的 Dedekind 實數域來驗證完備性。

Cauchy 序列的定義

定義

Cauchy 序列

序列 $(x_n)$ 稱為 Cauchy，如果對每個 $\varepsilon\gt 0$，都存在 $N$ 使得當 $n,m\gt N$ 時，

$$|x_n-x_m|\lt \varepsilon.$$

同一個閾值必須對每一對後續指標都有效，即使兩個指標相距很遠。先固定 $\varepsilon$，再選 $N$，最後考慮任意 $n,m>N$。僅僅讓相鄰差 $|x_{n+1}-x_n|$ 變小，本身並不能控制一長段尾部兩端的距離。

這個定義和普通極限定義有相同的量詞骨架，但比較對象變了：

• 在一般收斂定義裡，你拿 $x_n$ 去和固定的 $L$ 比較；
• 在 Cauchy 定義裡，你拿晚期的 $x_n$ 和 $x_m$ 彼此比較。

所以 Cauchy 序列描述的是：尾部會被壓進愈來愈窄的區域內。

常見錯誤

Cauchy 不等於單調

Cauchy 序列不一定單調增加，也不一定單調減少。定義只要求晚期各項彼此 接近，並沒有要求它必須單方向移動。

例題

不先指出極限，也能控制尾部

對於上面的有理部分和，當 $n>m\ge0$ 時，由 $k!\ge2^{k-1}$ 得到

$$0<x_n-x_m =\sum_{k=m+2}^{n+1}\frac1{k!} \le\sum_{j=m+1}^{n}2^{-j} <2^{-m}\le\frac1{m+1}.$$

嚴格上界來自有限等比和，而 $2^m\ge m+1$ 可用歸納法證明。給定有理數 $\varepsilon>0$，取自然數 $N>1/\varepsilon$。若 $n,m>N$，必要時交換兩者使 $n\ge m$。相同指標的誤差為零；否則上式的界小於 $\varepsilon$。因此，在尚未指出極限之前，僅用有理數估計就證明了該序列是 Cauchy 序列。

接下來的構造有三個任務：判斷哪些逼近代表同一個數，使運算與代表元選擇無關，並證明所得數系完備。

為甚麼收斂一定推出 Cauchy？

關鍵命題如下。

定理

收斂序列一定是 Cauchy 序列

若有理序列 $(x_n)$ 收斂到有理極限 $L$，那麼 $(x_n)$ 一定是 Cauchy 序列。

完整證明不長；先把關鍵思路看清楚。

利用三角不等式的證明

假設 $x_n\to L$，任取 $\varepsilon\gt 0$。

由於 $x_n\to L$，存在 $N$ 使得對所有 $n\gt N$，

$$|x_n-L|\lt \frac{\varepsilon}{2}.$$

那麼只要 $n,m\gt N$，由三角不等式得

$$|x_n-x_m| = |(x_n-L)+(L-x_m)| \le |x_n-L|+|x_m-L| \lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon.$$

因此 $(x_n)$ 是 Cauchy。

這個命題表示：真正的收斂一定會令序列尾部壓縮起來。

等價的 Cauchy 序列

如果 Cauchy 序列要代表實數，那麼兩個「其實指向同一點」的序列，應該要 被視作同一個實數。

定義

等價的 Cauchy 序列

兩個 Cauchy 序列 $(x_n)$ 與 $(y_n)$ 稱為等價，如果對每個 $\varepsilon\gt 0$，都存在 $N$ 使得對所有 $n,m\gt N$，

$$|x_n-y_m|\lt \varepsilon.$$

這表示：兩個序列的尾部最終可以彼此靠得任意近。直觀上，它們是在描述數 線上的同一個極限點。

下面分別檢驗自反性、對稱性與傳遞性。其中傳遞性需要用三角不等式連接兩個尾部估計。

等價關係及其同指標形式

有理數三角不等式來自 $-|a|\le a\le|a|$ 與 $-|b|\le b\le|b|$：相加後，和位於 $-(|a|+|b|)$ 與 $|a|+|b|$ 之間，故 $|a+b|\le|a|+|b|$。

上述關係的自反性正是 Cauchy 條件；對稱性來自交換指標。證明傳遞性時，設 $x\sim y$ 且 $y\sim z$。對容差 $\varepsilon/2$ 選共同閾值，再固定一個超過它的 $k$。對任意超過閾值的 $n,m$，

$$|x_n-z_m|\le|x_n-y_k|+|y_k-z_m|\lt \varepsilon.$$

所以該關係是等價關係。它也等價於使用有理容差的條件 $x_n-y_n\to0$。一個方向取 $m=n$；反方向使用

$$|x_n-y_m|\le|x_n-y_n|+|y_n-y_m|$$

並給每項分配一半容差。第二項使用了 $y$ 的 Cauchy 性質。改變有限項不改變等價類，因為可以把閾值增大到所有改動指標之後。不同的有理常數給出不同的類：當 $q\ne r$ 時，容差 $|q-r|/2$ 排除了等價的可能。

用等價類構造 $R$

現在可以把這個想法寫成正式定義。

定義

把實數定義為有理 Cauchy 序列的等價類

令 $F$（$R$ 的 Cauchy 模型）為所有有理 Cauchy 序列的等價類所成的集合。這些等價類提供了另 一個實數模型。

這是一個重要的觀點轉換：

• 在 Dedekind cut 模型裡，實數是把 $Q$ 分成左右兩邊的切割；
• 在 Cauchy 模型裡，實數是一整個「彼此不可區分」的逼近序列家族。

兩個模型都同樣嚴格，亦都在構造同一個實數系統。

有理數如何嵌入這個模型？

還需要說明：在這個構造中，我們應如何理解有理數本身？最自然的答案 是：有理數 $q$ 由常數序列

$$(q,q,q,q,\ldots)$$

所代表。

例題

$1/2$ 的不同代表元

實數 $1/2$ 可以由常數序列

$$\left(\frac12,\frac12,\frac12,\ldots\right)$$

來代表。

它亦可以由其他收斂到同一點的有理 Cauchy 序列代表，例如

$$\left(\frac12+\frac11,\frac12+\frac12,\frac12+\frac13,\frac12+\frac14,\ldots\right).$$

第二條序列不是常數，但它的項愈來愈接近 $1/2$，所以它和常數序列 屬於同一個等價類。

因此，一個實數不是某條單獨代表序列本身，而是整個等價類。

常見錯誤

實數本身不是你最喜歡的那個代表序列

在這個模型中，改換到另一條等價的 Cauchy 序列，並不會改變那個實數。代 表序列只是描述方式，不是最終對象本身。

有界性與等價類上的有理運算

這裡的序列各項都是有理數，指標屬於 $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$。在下面明確引入 Dedekind 實數域之前，所有容差都屬於 $\mathbb Q_{\gt 0}$，所有閾值都屬於 $\mathbb N$。

每個 Cauchy 序列都有界

選 $N_0$ 使超過它的項兩兩相差小於 $1$，再令 $k=N_0+1$。對每個 $n\gt N_0$，有 $|x_n|\lt |x_k|+1$。有限個較早項 $x_0,\ldots,x_{N_0}$ 的絕對值也有有理上界。取這些界與 $1$ 的最大值，得到有理全局界 $M\ge1$。作為比較基準的 $k$ 必須嚴格超過 Cauchy 閾值。

例題

有界、無界與非單調序列

有界序列 $x_n=(-1)^n$ 不是 Cauchy 序列。取容差 $1$。給定任何閾值 $N$， 選一個 $m\gt N$ 的偶數和一個 $n\gt N$ 的奇數，就有 $|x_m-x_n|=2\gt1$。所以有界性本身並不能保證 Cauchy 條件。

序列 $x_n=n$ 無界，也不滿足 Cauchy 條件：取容差 $1$，相鄰的晚期項 $x_{N+1}$ 與 $x_{N+2}$ 的差恰為 $1$。相反，$(-1)^n/(n+1)$ 雖然不單調， 卻收斂到零，因此是 Cauchy 序列。這些例子區分了有界性、單調性和定義中 真正要求的尾部條件。

封閉性與代表元無關性

用 $F$ 表示商集。定義

$$[x]+[y]=[(x_n+y_n)],\qquad [x][y]=[(x_ny_n)],\qquad -[x]=[(-x_n)].$$

必須檢查封閉性與代表元無關性。對加法，和的差不超過兩個原序列的差之和；在共同尾部把每項控制在 $\varepsilon/2$ 以下。對乘法，先給兩個序列選有理共同界 $M\ge1$，則

$$|x_ny_n-x_my_m|\le |x_n||y_n-y_m|+|y_m||x_n-x_m| \le M|y_n-y_m|+M|x_n-x_m|\lt \varepsilon$$

只需使每個原序列的差小於 $\varepsilon/(2M)$。因此乘積序列是 Cauchy 序列。取負直接保留絕對差。

若 $x\sim x'$ 且 $y\sim y'$，加法使用相同證明，只需改用不同指標的代表元誤差。對乘法，選一個同時控制四個序列的有理界 $M\ge1$。在共同尾部，等價性使每個誤差小於 $\varepsilon/(2M)$，於是

$$|x_ny_n-x'_my'_m|\le M|y_n-y'_m|+M|x_n-x'_m|\lt \varepsilon.$$

所以運算良定義。結合律、交換律、分配律逐項由有理數運算得到。常數序列 $0$ 與 $1$ 給出單位元；$(-x_n)$ 給出加法逆元。

例題

每一項非零仍可能代表零類

令 $x_n=1/(n+1)$。每一項都非零，但該序列代表 $[0]$：給定有理容差 $\varepsilon\gt0$，選 $N$ 使 $1/(N+1)\lt\varepsilon$，則對每個 $n\gt N$ 都有 $|x_n|\lt\varepsilon$。逐項取倒數得到 $u_n=n+1$，它不是 Cauchy 序列， 因為在容差 $1$ 下，任何閾值之後的相鄰項差都恰為 $1$。因此，僅僅知道每 項非零並不足以取倒數；非零等價類需要最終統一地遠離零的下界。

乘法逆元需要統一的正下界

設 $[x]\ne[0]$。必存在有理數 $c\gt 0$ 和自然數 $N$，使每個 $n\gt N$ 都滿足 $|x_n|\ge c$。否則，給定有理數 $\varepsilon\gt 0$，先選對應 $\varepsilon/2$ 的 Cauchy 閾值 $N_0$。反設保證存在 $k\gt N_0$ 使 $|x_k|\lt \varepsilon/2$。對每個 $n\gt N_0$，三角不等式給出 $|x_n|\lt \varepsilon$，即 $x\sim0$，矛盾。

當 $n\gt N$ 時定義 $u_n=1/x_n$，較早項取 $0$。倒數序列是 Cauchy 序列，因為超過此閾值後，

$$|u_n-u_m|=\frac{|x_n-x_m|}{|x_nx_m|}\le\frac{|x_n-x_m|}{c^2}\lt \varepsilon$$

只需原序列的差小於有理容差 $c^2\varepsilon$。

為檢查代表元無關性，設 $x'\sim x$，並為 $|x'_m|$ 選一個最終成立的有理下界 $d\gt 0$。在共同尾部，

$$\left|\frac1{x_n}-\frac1{x'_m}\right|\le\frac{|x_n-x'_m|}{cd}\lt \varepsilon$$

這是對容差 $cd\varepsilon$ 使用等價性的結果。有限個初始值的選擇也無影響。最後，尾部滿足 $x_nu_n=1$，故 $[x][u]=[1]$。這就證明了良定義的逆元存在。唯一性來自結合律：若 $ab=ac=1$，則 $b=b(ac)=(ba)c=c$。

次序必須與代表元選擇無關

直接要求最終逐項比較不符合這個要求。等價序列 $0$ 與 $1/(n+1)$ 跟零序列的逐項比較不同。我們改為定義

$$[x]\le_F[y]\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon\in\mathbb Q_{\gt 0}\ \exists N\in\mathbb N\ \forall n\gt N,\quad x_n\le y_n+\varepsilon.$$

若代表元換為 $x'$ 與 $y'$，把 $\varepsilon/3$ 分別分配給 $|x'_n-x_n|$、原有次序容差和 $|y_n-y'_n|$。在共同尾部便得到 $x'_n\le y'_n+\varepsilon$。反向更換即可證明代表元無關性。下面透過證明這個關係與此前實數域的次序完全一致，驗證所有次序性質。

定理

終點定理：Cauchy 模型就是 Dedekind 實數域

完成下面的驗證後，映射

$$\Phi:F\longrightarrow R_D,\qquad \Phi([x])=\lim_{n\to\infty}x_n$$

是保持次序的域同構，並且固定每一個嵌入的有理數。證明明確使用了前面已 構造的 Dedekind 完備有序域 $R_D$，包括其最小上界性質、有理數稠密性和 Archimedean 性質。因此這裏是與前面 Dedekind 模型的對應，而不是僅憑 Cauchy 定義從頭獨立證明完備性。

利用 Dedekind 實數域驗證模型

令 $R_D$ 為第 4 章構造的完備有序域。上述商集定義只使用有理數資料；以下完備性驗證依賴前面的 Dedekind 構造，並不是從頭獨立證明完備性。 我們使用 $R_D$ 的最小上界性質和有理數稠密性。正有理容差足以檢驗實數誤差，因為每個正實數容差都有一個更小的正有理數。

有理 Cauchy 序列在 $R_D$ 中收斂

將有界的有理 Cauchy 序列視為 $R_D$ 中的序列，定義

$$\ell_N=\inf_{n\gt N}x_n,\qquad u_N=\sup_{n\gt N}x_n,\qquad L=\sup_{N\in\mathbb N}\ell_N.$$

每個尾部都非空且有界，所以其下確界與上確界存在，而遞增、有界的下界序列也有上確界 $L$。對每個 $N$，有 $\ell_N\le L\le u_N$：選一個指標同時超過 $K,N$ 的項，就能看出每個 $\ell_K$ 都不超過 $u_N$。

給定正實數容差 $\eta$，選有理數 $0\lt \rho\lt \eta$，再為 $\rho$ 選 Cauchy 閾值 $N$。固定 $m\gt N$，尾部所有項滿足 $x_n\lt x_m+\rho$，故 $u_N\le x_m+\rho$。因此 $u_N-\rho$ 是尾部的下界，故 $u_N-\rho\le\ell_N$，即 $u_N\le\ell_N+\rho$。$L$ 與每個後續的 $x_n$ 都屬於 $[\ell_N,u_N]$，所以 $|x_n-L|\le\rho\lt \eta$。這就證明了收斂，並未預先假設 Cauchy 收斂定理。

$R_D$ 中的極限唯一：若不同的 $L,M$ 都是極限，對每個極限取容差 $|L-M|/3$，三角不等式將給出 $|L-M|\lt 2|L-M|/3$，矛盾。

兩個模型之間的雙射

定義

$$\Phi:F\longrightarrow R_D,\qquad \Phi([x])=\lim_{n\to\infty}x_n.$$

若 $x\sim y$，極限分別為 $L,M$，把任意正實數容差分為三份，在共同尾部控制 $|L-x_n|$、$|x_n-y_n|$、$|y_n-M|$。中間一項使用更小的正有理容差。因此 $|L-M|$ 小於每個正容差，故 $L=M$，映射良定義。反過來，若兩者極限都為 $L$，則共同尾部滿足 $|x_n-y_m|\le|x_n-L|+|y_m-L|\lt \varepsilon$，故 $x\sim y$，證明了單射性。

對 $r\in R_D$，有理數稠密性給出 $q_n\in\mathbb Q$，使 $|q_n-r|\lt 1/(n+1)$。可用第 4 章的整數夾逼性質明確選擇：取唯一整數 $k_n$ 滿足 $k_n\le(n+1)r\lt k_n+1$，再令 $q_n=k_n/(n+1)$。Archimedean 性質給出 $q_n\to r$；三角不等式說明 $(q_n)$ 是 Cauchy 序列。因此 $\Phi([q])=r$，證明了滿射性。常數序列說明 $\Phi$ 保持嵌入的有理數。

保持運算與次序

設 $x_n\to L$、$y_n\to M$。估計

$$|(x_n+y_n)-(L+M)|\le|x_n-L|+|y_n-M|$$

中，每項分配一半目標容差，即證明保持加法。對乘法，取 $|x_n|$ 的有理界 $B\ge1$，並在 $R_D$ 中令 $K=\max(B,|M|,1)$，則

$$|x_ny_n-LM|\le |x_n||y_n-M|+|M||x_n-L| \le K\bigl(|y_n-M|+|x_n-L|\bigr).$$

對正實數容差 $\eta$，在共同尾部使每個差小於 $\eta/(2K)$。這樣直接證明了乘積收斂，沒有引用未證明的序列極限定律。因此 $\Phi$ 保持乘法，並透過常數序列保持 $0$ 與 $1$。

若 $L\le M$，對任意有理數 $\varepsilon\gt 0$，選共同尾部使兩個極限誤差都小於 $\varepsilon/2$。於是 $x_n\lt y_n+\varepsilon$，即 $[x]\le_F[y]$。反過來，若 $[x]\le_F[y]$ 卻有 $L\gt M$，選有理數 $0\lt \rho\lt (L-M)/3$。當兩個極限誤差都小於 $\rho$ 時，得到 $x_n-y_n\gt L-M-2\rho\gt \rho$，與容差 $\rho$ 的次序定義矛盾。因此

$$[x]\le_F[y]\quad\Longleftrightarrow\quad\Phi([x])\le\Phi([y]).$$

轉移最小上界性質

這個雙射保持運算與次序，所以 $F$ 是有序域。設 $S\subseteq F$ 非空且以 $b$ 為上界。其像在 $R_D$ 中非空且以 $\Phi(b)$ 為上界。令 $t=\sup\Phi(S)$、$s=\Phi^{-1}(t)$。次序保持性說明 $s$ 是 $S$ 的上界。若 $v$ 是 $S$ 的任意上界，則 $\Phi(v)$ 是 $\Phi(S)$ 的上界，所以 $t\le\Phi(v)$，從而 $s\le v$。因此 $s=\sup S$。

至此已驗證有理 Cauchy 商集是完備有序域。完備性透過與 Dedekind 模型對應來證明，而商集的定義、代表元檢查與逆元估計始終只使用有理數。

快速檢查

思考檢查

『收斂』與『Cauchy』兩個定義的主要分別是甚麼？

集中在 $x_n$ 是和甚麼比較。

解答 · 答案

收斂是把晚期項 $x_n$ 和固定的極限 $L$ 比較；Cauchy 則是把晚期項 $x_n$ 和 $x_m$ 彼此比較。

思考檢查

在 Cauchy 序列模型中，有理數 q 是怎樣出現的？

想想最簡單的 Cauchy 序列。

解答 · 答案

它由常數序列 $(q,q,q,q,\ldots)$ 的等價類表示。

思考檢查

為甚麼證明『Cauchy 序列的乘積仍是 Cauchy』時需要有界性？

看 $|x_my_m-x_ny_n|$ 的估計式。

解答 · 答案

因為有界性讓我們可以用同一個常數 $M$ 去控制 $|x_m|$ 和 $|y_n|$， 從而把乘積差距化成 $|x_m-x_n|$ 與 $|y_m-y_n|$ 這兩個可由 Cauchy 條件 控制的量。

練習

思考檢查

證明每條常數有理序列都是 Cauchy。

利用任意兩項之差都等於零。

解答 · 引導解答

若對所有 $n$ 都有 $x_n=q$，其中 $q\in Q$，則任意 $n,m$ 皆有

$$|x_n-x_m|=|q-q|=0.$$

因此不論給甚麼 $\varepsilon\gt 0$，任何 $N$ 都可行。故常數有理序 列一定是 Cauchy。

思考檢查

設 $q$ 是有理數，$x_n=q+1/(n+1)$。直接證明該序列等價於常數序列 $q$。

寫出一個對同一閾值之後每一對指標都成立的界。

解答 · 示範解答

對每個 $n,m$，有 $|x_n-q|=1/(n+1)$。給定有理數 $\varepsilon>0$，取 $N>1/\varepsilon$。每個 $n,m>N$ 都滿足 $|x_n-q|<\varepsilon$。序列 $(x_n)$ 收斂到有理數 $q$，所以是 Cauchy 序列；不同指標的比較條件則證明它與常數序列等價。因為另一個代表元是常數，指標 $m$ 不會帶來額外誤差。

思考檢查

序列 $x_n=0$ 與 $y_n=1/(n+1)$ 等價。解釋為甚麼最終逐項比較不能定義等價類上的次序。

比較 $[y]\le[0]$ 與「最終有 $y_n\le0$」這兩個陳述。

解答 · 示範解答

因為 $[y]=[0]$，自反性要求 $[y]\le[0]$。但 $y_n>0$ 對每個 $n$ 都成立；換用等價代表元 $x_n=0$，卻有每項都滿足 $x_n\le0$。最終逐項比較的結果會隨代表元改變。本頁用容差定義次序，容許在足夠後面的尾部出現任意小的正誤差，從而解決這個問題。

前置與繼續閱讀

建議先讀 5.1 序列與 epsilon-N 極限 及 4.3 完備性與 Q 的缺口。 之後可接着讀 5.3 Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性。

完備性驗證亦使用4.5 Dedekind 分割與有理數嵌入。