4.4 实数公理与第一次近似构造

为什么要先定义目标，再谈构造？

前面章节一直遵循同一个模式：

1. 先说清楚我们想要什么结构；
2. 再构造一个模型去满足这些结构；
3. 最后仔细验证构造。

实数的目标结构是完备有序域。先明确目标，才能知道构造需要验证哪些性质。

这是很好的数学习惯。如果你连目标性质都没讲清楚，就算后面给出很漂亮 的构造，也会显得缺乏动机。

正式目标

定义

实数模型

集合 $R$ 称为实数模型，如果它带有：

• 元素 $0,1\in R$；
• 二元运算 $+$ 与 $\cdot$；
• 一个全序 $\le$；

而且满足：

• $(R,0,1,+,\cdot,\le)$ 是有序域；
• $(R,\le)$ 是完备的。

这个定义把整个第 4 章浓缩成一句话：

实数就是一个没有遗漏最小上界与最大下界的有序域。

定理

实数的唯一性

任何两个完备有序域，都存在保持加法、乘法与次序的同构。因此，不同的有效 构造都可以视为同一个 $R$ 的模型。

这里陈述唯一性定理，不给出证明。

这个定理解释了为什么不同构造可以代表同一个 $R$。Dedekind 分割和 Cauchy 序列的内部形式很不同；但只要两个构造都满足完备有序域公理，它们 在本课程关心的结构上就是同一个实数系统。

例题

为什么 Q 还不是实数模型

$Q$ 已经满足有序域那一部分。失败的地方在于完备性。

集合

$$S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}$$

在 $Q$ 中非空而且上有界，却没有有理 supremum。因此 $Q$ 很接近目标， 但仍然不是实数系统。

为什么无限小数还不是完整答案

第一个直觉通常是：

“实数不就是一串无限小数吗？”

这个直觉有帮助，但还不能直接作为实数的定义。

至少有两个原因：

• 同一个实数可能有多种小数表示，例如 $0.9999\ldots = 1$；
• 小数展开迫使你选择某个基底，例如十进位，但实数的概念本身不应依赖 这种任意选择。

因此，小数直觉可以引导我们走向结构化的构造。

近似的想法

假设一个实数非正式地写成

$$r=10.234890234809234\ldots$$

那么我们可以用有理数由下方与上方去逼近它：

$$10\lt r\lt 11,$$ $$10.2\lt r\lt 10.3,$$ $$10.23\lt r\lt 10.24,$$

如此类推。

每增加一位小数，就缩小一个有理区间。最终的构造必须说明：为什么这些有限 比较会决定同一条边界。

例题

由下、由上的有理围栏

若有一个小数展开 $r=3.1415\ldots$，那前几个有理围栏可以写成

$$3\lt r\lt 4,\qquad 3.1\lt r\lt 3.2,\qquad 3.14\lt r\lt 3.15.$$

每多看一位小数，就得到一个更窄的有理区间去包含 $r$。

把有理数分成左右两边

从这种近似观点出发，实数 $r$ 会决定两个有理数集合：

$$A=\{q\in Q\mid q\lt r\}, \qquad B=\{q\in Q\mid q\ge r\}.$$

关键不只在符号，而在思想：实数可以被看成一条边界，把所有有理数分成 左边一堆与右边一堆。

这正是 Dedekind 分割构造的动机：用与有理数的比较来确定边界。

从近似图像走向构造

上面的集合用已有的实数 $r$ 描述哪些有理数位于它的下方。这提供了构造 动机，但构造本身必须在不预先假设 $r$ 存在的前提下定义边界。下一篇会 用有理数下集的公理完成这一步。先来看完备有序域这个目标对近似有何要求。

不循环地推出 Archimedean 性质

不能把 $R$ 的 Archimedean 性质当作没有说明的事实。它可以从完备性推出。 反设自然数集在 $R$ 中有上界。由最小上界原理，它有上确界 $s$。因为 $s-1\lt s$，$s-1$ 不可能是上界，所以存在自然数 $n$ 使 $s-1\lt n$。于是 $n+1\gt s$，这与 $s$ 是上界矛盾。因此自然数在 $R$ 中无上界；对每个 $x\in R$，都存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。

定理

Archimedean 逼近原理

对每个 $x\in R$，存在 $n\in N$ 使 $n\gt x$。等价地，对每个 $\varepsilon\gt 0$，存在 $n\in N$ 且 $n\ge1$ 使 $1/n\lt \varepsilon$。这个结论来自 完备性，不是先假设小数展开已经构造了实数直线。

例题

选择有理围栏的宽度

给定 $\varepsilon\gt 0$，取 $n\gt 1/\varepsilon$，便有 $1/n\lt \varepsilon$。 如果一个逼近区间的宽度不超过 $1/n$，它就小于 $\varepsilon$。这说明 逐位小数围栏为什么能够任意变窄。

常见错误

不要把结论当成构造本身

在还没有证明围栏确定边界以前，就说“取这个实数的小数展开”，会把要 构造的对象预先放进论证。应先使用次序和完备性，再用 Archimedean 性质 控制逼近宽度。

稠密性与有理围栏

Archimedean 性质不只是抽象的无界性；它能按指定精度在任意实数两侧放置 有理数。下一节会把这个网格论证完整写出：先用良序性选择最小整数，再 除以正整数，得到有理围栏。这个机制不依赖十进制表示。

定理

带指定误差的有理逼近

对每个 $x\in R$ 和 $\varepsilon\gt 0$，存在 $q\in Q$ 使 $|x-q|\lt \varepsilon$。把下文的区间论证应用到 $x-\varepsilon$ 和 $x+\varepsilon$ 即可。

例题

在指定区间中找有理数

取 $n=1000$，则 $1/n=0.001\lt 1.42-1.41$。严格大于 $1000(1.41)=1410$ 的最小整数是 $m=1411$，所以 $m/n=1.411$ 严格 位于 $(1.41,1.42)$ 内。若误取 $n=100$，得到的会是右端点 $1.42$； 这说明网格宽度的严格不等式不可省略。

例题

为什么仍然需要完备性

稠密性说明任意两个实数之间有有理点，却不说明有界的有理子集有有理端点。 $\sqrt{2}$ 以下可以有无穷多个稠密有理数，而边界仍是无理实数。逼近和 取到是不同的命题。

三歧性、绝对值与误差控制

全序公理给出任意两个实数的三种且仅有三种可能：$x\lt y$、$x=y$ 或 $y\lt x$。特别地，每个实数都正、为零或负；差的符号也决定它位于一个区 间的哪一侧。这正是有理 cut 版本中的三歧性：三种情形既穷尽所有可 能，又互相排斥，因此后面的证明可以按符号分类而不遗漏情况。

定理

有理误差项的三角不等式

对 $u,v\in Q$（在有序域公理建立后也对 $u,v\in R$），有

$$|u+v|\le |u|+|v|.$$

因此若 $|x-q|\lt\varepsilon$ 且 $|q-r|\lt\delta$，则 $|x-r|\lt\varepsilon+\delta$。

证明第一条时，若 $u+v\ge0$，则 $|u+v|=u+v\le|u|+|v|$，因为 $u\le|u|$ 且 $v\le|v|$。若 $u+v\lt0$，则 $|u+v|=-(u+v)=(-u)+(-v)\le|u|+|v|$，因为 $-u\le|u|$ 且 $-v\le|v|$。两种符号情形涵盖所有可能。对于推论，把 $x-r=(x-q)+(q-r)$，再应用三角不等式：

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|\lt\varepsilon+\delta.$$

这就是网格估计有用的原因：误差会被定量控制，而不只是“看起来很小”。

不隐藏选择的有理网格

稠密性论证可以完全写成明确步骤。给定 $x\lt y$，先取 $n\in N$、$n\ge1$，使 $1/n\lt y-x$。由 Archimedean 性质，严格大于 $nx$ 的整数集合非空；把它平移到 $N$ 后用良序性取其中最小元 $m$。最小性给出

$$m-1\le nx\lt m.$$

因为 $n>0$，除以 $n$ 不改变不等号方向，于是

$$x\lt\frac mn\le x+\frac1n\lt y.$$

$m/n$ 是有理数，并且严格位于所要求的区间。严格条件 $1/n\lt y-x$ 不可改成非严格条件；否则构造出的分数可能恰好落在 $y$ 上。

例题

一个三段式逼近问题

设 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。取 $n>2/\varepsilon$，并把网格构造应用 到区间 $(x-\varepsilon/2,x+\varepsilon/2)$，得到有理数 $q$，满足 $|x-q|\lt\varepsilon/2\lt\varepsilon$。若另一个有理数 $r$ 满足 $|q-r|\lt\varepsilon/2$，三角不等式给出 $|x-r|\lt\varepsilon$。所以同一 个证明既产生有理近似，也给出替换一个近似时的严格容差。

例题

有理围栏附近的三歧性检查

设实数 $x$ 满足 $1.41\lt x\lt1.42$。三歧性说明 $x\lt1.411$、$x=1.411$、 $1.411\lt x$ 恰有一个成立。若第三种成立，$q=1.411=1411/1000$ 是严格 位于 $x$ 下方且仍在原区间内的有理数；若第一种成立，则把 $1.41$ 当作 下围栏并用更细网格重复。等号情形并不是错误，而是说明有理围栏已经取 到了 $x$。保留三种情形，可以避免把严格不等号悄悄换成非严格不等号。

现在可以看清每个假设的角色：完备性提供目标实数边界，并通过上确界论证 推出 Archimedean 性质；三歧性提供确定的一侧比较；良序性选择所需的最小 整数；有序域相容性允许除以正整数 $n$。有理稠密性是这些成分共同产生的 结果，不能拿来替代完备性。

还要区分逼近程序与数的构造。实数 $x$ 已经存在时，网格引理可以在它两 侧找到有理数，三角不等式可以比较这些近似的误差。真正的构造还要说明哪 些逼近资料代表同一个对象，证明所得对象支持域运算，并验证次序完备。小 数记号本身不会完成这些工作。把有理数分成左右两边之所以有动机，是因 为它记录了边界资料；下一节的 Dedekind cut 才会把资料变成正式对象。

依赖次序也很重要。只有先建立 Archimedean 估计，才能选择网格宽度；而 Archimedean 估计是把最小上界原理应用于自然数集、由完备性推出的，因此 不能在这个推导中暗中把它当作前提。估计成立后，才由良序性和正数除法推 出有理稠密性。这样的依赖链保持第一次近似构造不循环，也清楚区分公理 目标与后面的正式构造。

快速检查

思考检查

Q 缺少哪个性质，所以不能成为实数模型？

对照上面的正式定义。

解答 · 答案

$Q$ 缺少完备性。它虽然是有序域，但不是每个非空有界子集都能在 $Q$ 内找到 supremum 与 infimum。

思考检查

不等式 $10.23<r<10.24$ 告诉了你关于 r 的什么信息？

用有理近似的语言回答。

解答 · 答案

它把 $r$ 放进一个很窄的有理区间内，也就是给出一个下方的有理近似与一 个上方的有理近似去夹住 $r$。

练习

思考检查

设 $x\in R$ 且 $\varepsilon>0$。找有理近似 $q,r$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$、$|q-r|<2\varepsilon/3$，并证明 $|x-r|<\varepsilon$。

两次应用有理稠密性，分别记录两部分误差。

解答 · 参考解答

由有理稠密性可取 $q\in Q$，使 $|x-q|<\varepsilon/3$。再以 $2\varepsilon/3$ 为容差逼近 $q$，得到 $r\in Q$。三角不等式给出

$$|x-r|\le|x-q|+|q-r|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{2\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$

两部分容差不必相等；关键是总和不超过所要求的误差范围。论证不需要指定 任何小数展开。

思考检查

假设用无限数字串构造实数。除了为每个数字串指定边界，还需要验证哪些关于相等和运算的性质？

用 $1.25000\ldots=1.24999\ldots$ 检验相等的含义。

解答 · 参考解答

构造必须把表示同一边界的不同数字串认作同一对象。加法、乘法与次序的 结果必须不依赖代表串的选择；还要验证有序域公理与完备性。近似记号很 有用，但不能单独建立这些结构性质。

相关笔记

请先读 4.3 完备性与 Q 的缺口。 然后继续读 4.5 Dedekind 分割与 Q 的嵌入， 那一页会把这里提到的 $Q$ 的左右分割正式变成实数的严格定义。