4.3 完备性与 Q 的缺口

完备性是一种存在性要求

上一节介绍了 supremum 与 infimum。完备性要问的是：在“应该”存在这些 极值界的情况下，它们是否真的存在？

这是 $Q$ 与 $R$ 真正分开的第一个地方。从代数角度看，$Q$ 已经很强： 它是一个域，也有熟悉的全序。但从次序结构看，$Q$ 仍然会漏掉某些本该 出现的边界点。

定义

定义

完备有序集

有序集 $X$ 称为完备，如果：

• 每个在 $X$ 中有上界的非空子集 $Y\subseteq X$ 都有 supremum；
• 每个在 $X$ 中有下界的非空子集 $Y\subseteq X$ 都有 infimum。

所以，完备性不是说元素很多，而是说：只要某个非空有界子集理应拥有最 小上界或最大下界，这些界就真的存在于同一个环境集合里。

例题

有限全序集一定完备

若 $X$ 是有限全序集，则其每个非空子集都已经有最大元素与最小元素。这 两个元素自然就是 supremum 与 infimum。

因此，有限全序集之所以完备，是因为所需的极端元素本来就在集合里被取 到。

真正有趣的问题，是像 $Q$、$R$ 这样的无限有序集。

有理数里的经典反例

标准反例是

$$S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}.$$

这个集合非空，因为 $1\in S$。它也在 $Q$ 中上有界，例如 $2$ 就是一个 上界。

若 $Q$ 是完备的，会发生什么？那么 $S$ 应该在 $Q$ 中有 supremum。以下 整个论证正是在说：没有任何有理数可以充当这个角色。

定理

Q 不是完备的

有序集 $(Q,\le)$ 不是完备的。

为什么没有有理数能当作 sup(S)

若 $s$ 是上界，由于 $1\in S$，必有 $s\ge1$。特别地，$s\le0$ 不可能 是上界。因此比较平方以前，可以把上确界候选限制为正有理数。

两种有理扰动

设 $s\in Q$ 且 $s\gt 0$。若 $s^2\lt 2$，令 $M=2-s^2$，并明确选择

$$h=\frac12\min\left\{1,\frac{M}{2s+1}\right\}\gt 0.$$

这是正有理数，且 $h\lt 1$、$h\lt M/(2s+1)$，所以

$$(s+h)^2=s^2+h(2s+h)\lt s^2+M=2.$$

于是 $s+h\in S$ 且 $s+h\gt s$，故 $s$ 不是上界。

若 $s^2\gt 2$，令 $M=s^2-2$，并选择

$$h=\frac12\min\left\{s,\frac{M}{2s}\right\}\gt 0.$$

此时 $r=s-h\gt 0$，而且

$$r^2=s^2-2sh+h^2\gt s^2-2sh\gt 2.$$

每个 $x\in S$ 都满足 $x\lt r$：否则 $x\ge r\gt 0$ 会推出 $x^2\ge r^2\gt 2$，矛盾。因此 $r$ 是比 $s$ 更小的上界，违反最小性。 这里 $r\gt 0$ 不可省略；负有理数即使平方大于 $2$，也不是 $S$ 的上界。

最后，前面的奇偶性证明排除了有理数 $s$ 满足 $s^2=2$ 的可能。这些 情形穷尽正有理候选，所以 $S$ 在 $Q$ 中没有上确界。整个证明只使用 有理数运算，没有假设实数平方根或完备性。

完备性不等于最大性

“最大元”描述的是集合成员资格，而完备性描述的是界的存在原则。最大元 必须属于子集；上确界则可能是环境集合中的端点，而子集始终达不到它。 反过来，即使环境有序集不完备，某个具体集合仍可能有上确界。完备性说 的是：环境中的每个非空有界集合都不会缺少这样的边界。

定理

有限全序与完备性

每个有限全序集都是完备的，因为每个非空子集都有最大元与最小元。这个有 限论证不能推广到任意无限有序集：无限集合可能有不被取到的清晰边界，也 可能有一个在环境集合中根本不存在的有界子集边界。

例题

一个明确的有限全序计算

令 $X=\{-2,0,3\}$ 带通常次序，$Y=\{-2,3\}$。在环境 $X$ 中，$Y$ 的唯一 上界是 $3$，所以 $\sup_X(Y)=3$；唯一下界是 $-2$，所以 $\inf_X(Y)=-2$。两者都属于 $Y$，因此都被取到。若改令 $Z=\{0,3\}\subseteq X$，它在 $X$ 中的上界仍只有 $\{3\}$，但下界是 $\{-2,0\}$。环境集合决定界的列表，而最大元与最小元仍由子集成员资格 决定。

例题

有下确界却没有最小元

正有理数集合 $Q_{>0}$ 没有最小元：任给 $q>0$，$q/2$ 仍是正数 而且更小。然而 $0$ 是它在 $Q$ 中的下确界。确实，$0$ 是下界；若下界 $\ell>0$，则下界条件会要求 $\ell\le\ell/2$，这是不可能的。因此 $\inf_Q(Q_{>0})=0$，但最小元不存在。这正是成员资格差异的体现；后面 $S$ 在实数中有上确界，却不含 $\sqrt 2$，也是同一种逻辑。

稠密不等于完备

很多人此时会直觉地说：

“可是在任意两个有理数之间，都还能找到更多有理数；这样还不够吗？”

这句话把两件事混在一起了：

• 稠密是指：两个不同有理数之间，总能再找到另一个有理数；
• 完备是指：每个非空有界子集，都在同一个环境里拥有正确的最小上 界与最大下界。

集合 $S$ 正好说明：即使边界附近有无穷多个有理逼近，也仍可能缺少真正 的 supremum。

常见错误

逼近不等于真的拥有边界点

$Q$ 中确实有越来越接近 $\sqrt{2}$ 的有理数，但这并不代表 $Q$ 已经包含 了 $S$ 的最小上界。越来越好的近似，仍然弱于真正拥有那个边界点。

把扰动证明看成完备性检验

上面的两种扰动不只是这个多项式的技巧，而是检验候选最小上界的一般方 法。候选 $s$ 可能从两个方向失败：若目标还在 $s$ 上方，就取向上扰动 $s+h$，它仍属于集合，从而击败 $s$ 作为上界；若候选太高，就取向下扰动 $s-h$，它仍是上界，从而击败 $s$ 作为最小上界。真正的边界必须同时经得 起这两种检验，因而正好处在两种情形的分界上。

在平方条件中，这个分界是 $s^2=2$。证明先用 $1\in S$ 说明所有上界候选 都为正。这一步不可省略，因为 $x\mapsto x^2$ 在整个 $Q$ 上并不递增；在 比较平方前必须先知道候选与相关见证非负。在第二种情形中，还要证明 $r=s-h>0$；否则由 $x\ge r$ 不能推出 $x^2\ge r^2$。

因此，完整证明的次序是：先证明集合非空并给出显式上界；再利用集合中的 简单元素限制候选；然后穷尽代数情形；第一种情形构造严格更大的元素， 第二种构造更小的上界；最后用有理数奇偶性排除等号情形。只说“数值越来 越接近 $2$”并不足够，因为这没有证明每个较小有理数都会被集合中的元素 击败。

例题

端点属于集合的有界有理集合

令 $T=\{q\in Q:0\lt q\le1\}$。$1$ 属于 $T$ 且是上界，因此它是最大元，并有 $\sup_Q(T)=1$。$0$ 是下界。若 $\ell>0$ 是另一个下界，当 $\ell\le1$ 时， $\ell/2$ 属于 $T$ 且小于 $\ell$，与下界条件矛盾；当 $\ell>1$ 时，集合中 的 $1$ 已经与 $\ell\le1$ 矛盾。因此 $\inf_Q(T)=0$，而 $T$ 没有最小元。 这个例子故意接近 $\sqrt{2}$ 集合：使用相同的界语言，但端点 $1$ 是有理数 且确实属于集合，所以没有完备性缺口。

这正好说明完备性公理的内容。它并不说每个子集都有最大元或最小元，而是 说：若非空子集在指定环境中有界，那么该环境中存在最佳上界或下界。对 $S$ 来说，实数边界存在于 $R$，有理边界却不存在于 $Q$；稠密性提供逼近 点，完备性才提供缺失的环境边界。

环境的限定也能从记号看出。$T$ 满足 $\sup_Q(T)=1$，放进 $R$ 后仍满足 $\sup_R(T)=1$，因为 $1$ 是有理数且上界比较没有改变。但对平方根集合， 写 $\sup_Q(S)$ 就是在断言一个有理边界，结论为假；写 $\sup_R(S)$ 则是在 完备实数线上断言边界存在，结论为真。上确界记号记录了边界必须位于哪 个环境中，绝不是集合记号后的装饰。

反过来，某一个集合有上确界，也不能推出它的环境完备。前面几何和集合在 $Q$ 中有理上确界，但 $Q$ 仍非完备。完备性必须对每个非空有界子集量化， 包括那些没有明显公式描述边界的集合；$\sqrt{2}$ 例子正是这种全称断言失 败的证据。

这正是完备性所回答的边界问题：最佳界必须存在于指定环境中。 它是关于环境有序集的存在性断言，而不是关于元素多少的断言。 边界位置必须明确，环境不可省略，证明要完整。

快速检查

思考检查

为什么 2 是 $S=\{x\in Q:x^2<2\}$ 的上界？

若 x>2，x^2 会变成什么？

解答 · 答案

若 $x\gt 2$，则 $x^2\gt 4\gt 2$，所以这样的 $x$ 不可能属于 $S$。因此 $S$ 的每 个元素都不超过 $2$，故 $2$ 是上界。

思考检查

为什么 Q 的稠密性不能推出 Q 的完备性？

用一句严谨的话回答。

解答 · 答案

稠密性只保证相邻有理数之间还能再插入有理数；完备性则要求每个非空有 界子集都在 $Q$ 内拥有最小上界。集合 $S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}$ 虽有无穷 多接近边界的有理近似，却仍然没有有理 supremum。

练习

思考检查

解释为什么每个有限全序集都是完备的。

利用有限非空子集一定能取到最大与最小元素。

解答 · 引导解答

取有限全序集 $X$ 的任一非空子集 $Y$。由于 $Y$ 有限，我们总能逐一比 较并找出最大的元素与最小的元素。这两个元素分别就是 $Y$ 的 maximum 与 minimum，因此也就是 $\sup(Y)$ 与 $\inf(Y)$。所以有限全序集一定完 备。

思考检查

假设 Q 是完备的，那么集合 $S=\{x\in Q:x^2<2\}$ 会被迫满足什么？为什么这不可能？

直接把完备性的定义套到这个反例上。

解答 · 引导解答

若 $Q$ 完备，则每个在 $Q$ 中上有界的非空子集都必有 supremum。集合 $S$ 非空且上有界，所以它必须有某个有理数 $s$ 满足 $s=\sup(S)$。但上 面的三种情况论证说明，没有任何有理数可以做到这件事。因此 $Q$ 不可 能是完备的。

相关笔记

可先读 3.5 Q 的缺口与 sqrt(2) 及 4.2 上下界、上确界与下确界。 之后可接着读 4.4 实数公理与第一次近似构造。