4.6 小数展开与无理数

为什么引入分割之后又回到小数？

读完 4.5 之后，一个很自然的反应是：

“Dedekind 分割是可行，但为什么偏偏是这个构造？”

完备有序域的唯一性从结构层面回答了这个疑问。重点不是说 Dedekind 分割是唯一能想出 来的构造，而是：只要某个构造真的做出一个完备有序域，那么它在数学意义 上做出来的就是实数。

这个构造的结构边界

唯一性定理说明，完备的分割模型就是熟悉的实数系统：

定理

完备有序域在同构意义下只有一个

一个重要事实是：作为完备有序域，实数是唯一的。所以 Dedekind 分割不 是熟悉实数线的竞争版本，而是它的一个严格模型。

任意两个完备有序域都存在保持次序与域运算的同构。因此，只要一个构造满足 完备有序域公理，它就在结构意义上得到实数系统。这个定理是本课程明确的 证明边界：本页用它解释不同严格构造为何描述同一个实数系统，但不在本课 证明唯一性定理。

由小数展开得到分割

考虑一个非正式的小数展开

$$x=10.4352902543\ldots$$

先从它造出两族有理数。

先看由下逼近：

$$S=\{10,\ 10.4,\ 10.43,\ 10.435,\ldots\}.$$

然后定义

$$A=\{q\in Q\mid \exists s\in S\text{ 使得 }q\lt s\}.$$

再看由上逼近：

$$T=\{11,\ 10.5,\ 10.44,\ 10.436,\ldots\}.$$

然后定义

$$B=Q\setminus A=\{q\in Q\mid \forall s\in S,\ s\le q\}.$$

关键主张是：$(A,B)$ 就是一个 Dedekind 分割。也就是说，一个熟悉的小数 展开可以被转换成上一页引入的那种边界对象。

例题

最初几层的小数围栏

由上面的展开，我们立刻得到一串嵌套的有理区间：

$$10\lt x\lt 11,$$$$10.4\lt x\lt 10.5,$$$$10.43\lt x\lt 10.44,$$$$10.435\lt x\lt 10.436.$$

集合 $A$ 收进所有已经被确认在某条下方围栏以下的有理数；集合 $B$ 是 所有下方围栏的有理上界集合，包含有理边界本身。

为什么这真的是一个 Dedekind 分割

用单集合版本的定义最容易检查。

• $A$ 非空，因为例如 $9\lt 10$，所以 $9\in A$。

• $A$ 不是整个 $Q$，因为 $T$ 里的每条上方围栏都严格高于 $S$ 里的每条下 方围栏，所以像 $11$ 这样的数不可能落在任何一条下方围栏之下。

• $A$ 向下封闭：若 $q\lt s$ 对某个 $s\in S$ 成立，而 $y\lt q$，那么 $y\lt s$ 也成立，所以 $y\in A$。

• $A$ 没有最大元素：若 $q\in A$，挑一个 $s\in S$ 使 $q\lt s$，再令

  $$r=\frac{q+s}{2}.$$

  就有 $q\lt r\lt s$，所以 $r\in A$。

因此，这个小数展开确实被转成了 cut 模型中的一个真正实数。

这正好体现了第 4 章的整体方法：看似非正式的描述，只要改写成有理数次序 数据，就能变成严格数学对象。

一般地，对整数部分 $k\in Z$ 和数字 $d_j\in\{0,\ldots,9\}$，定义

$$t_n=k+\sum_{j=1}^n d_j10^{-j},\qquad u_n=t_n+10^{-n},\qquad n\ge0.$$

$n=0$ 时取空和。令 $S=\{t_n:n\ge0\}$、$T=\{u_n:n\ge0\}$。 有限位值运算给出 $t_m\lt u_n$，下围栏非递减，上围栏非递增。上面的 四个条件同样适用：$k-1\in A$，而 $k+1\notin A$。$B$ 必须取 $A$ 的补集，即所有下围栏的有理上界；若改成严格高于某个上围栏，会把 $1.25000\ldots$ 这样的有理边界从两边同时遗漏。给定 $\varepsilon\gt 0$， 选择 $n\gt 1/\varepsilon$ 并使用 $10^n\ge n$，可得 $10^{-n}\lt \varepsilon$。 所以这种构造也涵盖终止小数和全为九的尾部。

由分割反推出小数展开

一个反向练习是：给定一个 Dedekind 分割，如何产生 对应的小数展开？

想法其实很系统。

1. 先找整数部分，也就是找出使嵌入分割 $m_R\le A$ 成立的最大整数 $m$。
2. 再测试十分位，保留其嵌入分割仍满足 $q_R\le A$ 的最大候选。
3. 接着测试百分位、千分位，如此类推。

每一步，你都在选择“嵌入分割不大于 $A$ 的最大十进制截断”。这会产生一串 越来越窄的有理区间，而它们的宽度趋向 $0$。

所以在这套理论里，小数位不是实数的原始定义；它是从分割通过反复逼近所 恢复出来的表示法。

例题

用分割寻找 $\sqrt2$ 的小数位

一旦 $\sqrt2$ 的分割被建立，我们可以比较平方并得到

$$1\lt \sqrt2\lt 2,$$$$1.4\lt \sqrt2\lt 1.5,$$$$1.41\lt \sqrt2\lt 1.42,$$$$1.414\lt \sqrt2\lt 1.415.$$

这些有理围栏正是熟悉的小数展开 $1.414\ldots$ 的开头。

图：每揭示多一位小数，便得到更窄的一条有理区间，而 $\sqrt{2}$ 始终留 在所有这些区间里。

逐步缩小有理区间

下面的 builder 会逐位揭示小数，并同步更新下界、上界与区间宽度，让你看 到“小数展开”其实是在构造一串越来越紧的有理围栏。

无理数

定义

无理数

一个 无理数 是 $R\setminus Q$ 里的元素，也就是 $r\in R$ 但 $r\notin Q$。

所以“无理”并不表示神秘、未定义，或无法描述；它只表示这个实数不是任 何一个有理 cut $q_R$。

定义 $\sqrt2$ 的分割

令

$$C=\{r\in Q:r\le0\text{ 或 }r^2\lt 2\},\qquad Q\setminus C=\{r\in Q:r\gt 0\text{ 且 }r^2\gt 2\}.$$

补集的等式使用了有理平方不等于 $2$ 的结论。$C$ 非空，因为 $1\in C$； 它是真子集，因为 $2\notin C$。向下封闭也成立：非正成员以下全被包括， 正成员以下的正有理数平方更小。非正成员可用 $1$ 超过，正成员可用 4.3 的有理扰动超过。因此 $C$ 没有最大元，确实是分割。它包含 $0_R$ 并且还包含 $1$，所以是严格正的分割。

验证 C 的平方确实等于 2_R

使用 4.5 的非负乘积分割定义。负有理数属于 $2_R$。若非负 $a,b\in C$，当 $a\le b$ 时有 $ab\le b^2\lt 2$；另一种次序同理。 因此 $C\cdot C\subseteq2_R$。

反过来，负有理数已经包括在乘积中。任取有理数 $0\le z\lt 2$，选择 有理数 $0\lt \delta\lt \min\{1,(2-z)/5\}$。从 $1\in C$ 开始应用 4.5 的有理步进论证，得到 $a\in C$、$b=a+\delta\notin C$ 且 $a\ge1$。 于是 $a\lt 2$、$b\lt 3$，而 $b^2\gt 2$，故

$$2-a^2\lt b^2-a^2=\delta(a+b)\lt 5\delta\lt 2-z.$$

所以 $z\lt a^2$。令 $c=z/a$，则 $0\le c\lt a$，故 $c\in C$，而 $z=ac\in C\cdot C$。这证明 $C\cdot C=2_R$。

例题

为什么这个分割是无理的

若 $C=q_R$，其边界必有 $q\gt 0$。若 $q^2\lt 2$，则 $q\in C$，但 $q\notin q_R$，矛盾。若 $q^2\gt 2$，4.3 的向下扰动给出正有理数 $r\lt q$ 且 $r^2\gt 2$，于是 $r\in q_R$ 却不属于 $C$，仍然矛盾。 等号 $q^2=2$ 在 $Q$ 中不可能。因此 $C$ 不是有理分割；我们把这个 平方为 $2_R$ 的正分割记作 $\sqrt2$。

常见错误

无理数不是‘没有精确意义的数’

在 cut 模型里，无理数和有理数一样精确。差别只在于：没有任何一个有理边 界点能把它完全抓住而已。它本身仍然是一个完全精确的 Dedekind 分割。

常见错误

小数展开在这里是结果，不是原始定义

本页并没有否定小数记号，而是在解释它。先有作为严格对象的分割，然后 才由分割通过反复逼近恢复出小数展开。

小数表示的非唯一性与循环性

小数是表示方式，所以在把它当作定义前，必须检查它是否唯一。基本例子是

$$0.999\ldots=1.$$

截断值 $0.9$、$0.99$、$0.999$ 与 $1$ 的差分别是 $10^{-1}$、 $10^{-2}$、$10^{-3}$。给定任意 $\varepsilon\gt 0$，取 $n$ 使 $10^{-n}\lt \varepsilon$。对任意 $u\lt 1$，取 $\varepsilon=1-u$，便知每个 $u\lt 1$ 都被某个截断 $1-10^{-n}$ 超过。因此 $1$ 是 所有截断的上确界，对应分割恰为 $1_R$。若要 使用唯一的小数字符串，就必须排除全是 $9$ 的尾部。

定理

最终循环小数是有理数

若小数在前 $m$ 位后出现长度为 $k$ 的循环块，把它分别乘以 $10^{m+k}$ 与 $10^m$，两条等式的循环尾部会对齐。相减后得到一个 非零整数系数乘以 $x$ 等于整数的方程，所以 $x$ 是整数之比。这只证明 最终循环小数为有理数，并不声称每个无限小数都循环。

定理

正的终止小数也有全九尾部表示

例如 $1.25000\ldots=1.24999\ldots$。对最后一个非零数字所在的位（也包括整数位）减去一个该位单位，并在其后接全九尾部，尾部的值正好补回 所减的单位。这是缩放后的 $0.999\ldots=1$，因此两种展开表示同一个数。

例题

把 $0.\overline{27}$ 化为分数

设 $x=0.272727\ldots$。则 $100x=27.272727\ldots$，相减得到 $99x=27$，所以 $x=27/99=3/11$。循环尾部在有限次相减后消失。

例题

非循环小数仍然可以是实数

$\sqrt{2}$ 的小数展开不是最终循环的，但它的有限截断和下一位上界形成 嵌套的有理区间；Archimedean 估计保证区间宽度趋于零，相关 cut 给出一个 实数边界。无理性表示它不是有理元素，不表示它不是实数。

反过来：有理数产生循环小数

前面的相消论证证明了“最终循环小数是有理数”。反方向同样来自有限性。 把最简分数 $a/b$（$b\gt 0$）做长除法，每一步记录余数；余数只能是 $0,1,\ldots,b-1$。余数变为 $0$ 时小数终止；否则有限多个余数中必有 一个重复。从第一次出现重复余数的位置起，数字就永久循环。因此每个 有理数都有终止或最终循环的小数展开。

定理

有理性与最终循环性等价

在把 $0.999\ldots$ 与 $1$ 这类两种表示视为同一个数后，十进制实数是 有理数，当且仅当它的展开终止或最终循环。

把一般实数化为小数部分

对任意 $x\in R$，Archimedean 性质给出整数 $k$，使 $k\le x<k+1$。 这个整数唯一：若另一个整数 $\ell$ 也满足条件，$k<\ell$ 会推出 $k+1\le\ell\le x$，矛盾；反方向同理。令 $y=x-k$，便有 $0\le y<1$。 先构造 $y$ 的小数位，再把 $k$ 加回每个截断值，就能保留相同的误差宽度。

例题

用取整函数构造小数位

对 $y\in[0,1)$、$n\ge1$，定义 $d_n=\lfloor10^n y\rfloor-10\lfloor10^{n-1}y\rfloor$。则 $d_n\in\{0,\ldots,9\}$，而截断值 $t_n=\lfloor10^n y\rfloor/10^n$ 满足 $t_n\le y<t_n+10^{-n}$。 因此 $k+t_n\le x<k+t_n+10^{-n}$；这些数字为每个实数给出带有明确误差界 的嵌套有理区间，不依赖把无限数字串当成现成对象。

数字公式需要两项检查。令 $m=\lfloor10^{n-1}y\rfloor$，由 $m\le10^{n-1}y<m+1$ 得到 $10m\le10^ny<10m+10$。取整后有 $10m\le\lfloor10^ny\rfloor\le10m+9$；减去 $10m$ 便证明 $d_n$ 是十个 允许数字之一。其次，加权的数字和会逐项相消：

$$\sum_{j=1}^n d_j10^{-j} =10^{-n}\lfloor10^ny\rfloor-\lfloor y\rfloor =10^{-n}\lfloor10^ny\rfloor=t_n.$$

最后一步使用 $0\le y<1$。因此数字构造确实还原了下方近似，并不只是列出 一串允许数字。对负的 $x$，$x=k+y$ 是整数加小数部分的分解，例如 $-1.25=-2+0.75$；不能把 $k$ 的负号与 $y$ 的数字直接拼接来读。

例题

有理但不终止的展开

$1/3$ 不能有终止小数，因为最简分母只含因子 $2$ 和 $5$ 才可能终止。 长除法得到 $0.333\ldots$；重复余数 $1$ 正好解释了循环。

常见错误

不终止不等于无理

$1/3=0.333\ldots$ 是有理数，因为数字最终循环。无理性要求不最终循环， 或需要另一个独立证明，不能只因为数字无限就下结论。

快速检查

思考检查

对有限小数 $1.25000\ldots$，$1.25$ 属于分割的 $A$ 还是 $B$？请由定义解释。

考虑所有下方近似，包括等于边界的那些。

解答 · 答案

每个下方近似都不超过 $1.25$，所以 $1.25$ 属于所有下方近似的有理上界集 $B$。它不属于 $A$，因为没有下方近似严格大于 $1.25$。把 $B$ 定义为 $A$ 的补集，正好保留了这个有理边界。

练习

思考检查

写出非正式小数 $3.14159...$ 所提示的前四个下方与上方有理围栏。

从整数区间开始，每次再揭示一位小数。

解答 · 引导解答

一种可能的链是

$$3\lt x\lt 4,$$$$3.1\lt x\lt 3.2,$$$$3.14\lt x\lt 3.15,$$$$3.141\lt x\lt 3.142.$$

每一步都把目标限制在更窄的有理区间内。

思考检查

从非正式小数 $2.718...$ 出发，写出前四个下方逼近、前四个上方逼近，并定义对应的 $A$ 与 $B$。

完全照上面的模式去写。

解答 · 引导解答

一种自然写法是

$$S=\{2,\ 2.7,\ 2.71,\ 2.718,\ldots\},$$

以及

$$T=\{3,\ 2.8,\ 2.72,\ 2.719,\ldots\}.$$

然后定义

$$A=\{q\in Q\mid \exists s\in S\text{ 使得 }q\lt s\},$$

以及

$$B=Q\setminus A=\{q\in Q\mid \forall s\in S,\ s\le q\}.$$

在显示出的阶段之后，确切还有什么小数位并不重要；重要的是这些由下逼近 会递增、由上逼近会递减，而且它们夹住同一个实数。

思考检查

为什么分割 $C=\{r\in Q:r\le0\text{ 或 }r^2\lt2\}$ 表示无理数？

使用前面已经证明的有理平方结论。

解答 · 引导解答

若该分割等于某个有理 cut $q_R$，其边界就会满足 $q^2=2$。但没有有理数的 平方等于 $2$，所以该分割不是有理分割，而是无理数。

思考检查

假设你已经知道某个 cut 的前 $k$ 位小数，下一位应该如何选？

用概念性语言描述，不必正式证明。

解答 · 引导解答

考虑下一位可能的十个数字 $0,1,\ldots,9$。对每个候选，把它加到目前的 小数截断后面，形成新的有理数。选出其中嵌入分割满足 $q_R\le A$ 的最大候选。 这就给出下一位的由下小数逼近，而由上的逼近则是在同一位上比它大一单位。

相关笔记

请先读 4.5 Dedekind 分割与 Q 的嵌入。 这两页一起完成了第 4 章里最核心的一步：由 $Q$ 中缺失的 supremum，走到 由有理逼近支撑的实数正式构造。