2.2 增廣矩陣與行變換

一個線性方程組包含兩類資料：變數前面的係數，以及右邊的常數。當我們 解方程組時，變數符號、加號和等號的排列模式其實沒有改變；真正會改變 的是那些數字。

這正是增廣矩陣有用的原因。它把會被行變換改寫的資料集中起來，令你不 用每做一步都重寫所有變數符號。

為甚麼增廣矩陣是恰當的包裝

考慮一個有 $m$ 條方程、$n$ 個未知數的線性方程組：

$$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\ &\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m. \end{aligned}$$

同一個方程組可以寫成三種平行形式：

• 方程列表；
• 矩陣方程 $Ax = b$；
• 增廣矩陣 $[A\mid b]$。

定義

係數矩陣、常數向量與增廣矩陣

對於系統 $Ax = b$：

• $A$ 稱為係數矩陣；
• $b$ 稱為常數向量；
• $[A\mid b]$ 稱為增廣矩陣，即把常數欄接在係數矩陣右邊所得的矩陣。

中間那條直線只是記號上的提示，用來提醒你最後一欄來自等號右邊。它不 代表有另一種獨立的矩陣運算。

還有一種很重要的列向量讀法。若 $A$ 的各欄由左至右分別是 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，那麼

$$Ax = b \quad\Longleftrightarrow\quad x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = b.$$

這個觀點在之後學張成與列空間時會再出現。不過就算在現階段，它亦說明 了同一個線性系統可以從「按行閱讀」和「按欄閱讀」兩方面理解。

例題

把同一個系統寫成三種形式

考慮

$$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 2x_3 &= 4, \\ x_1 + 3x_2 + 3x_3 &= 5, \\ 2x_1 + 6x_2 + 5x_3 &= 6. \end{aligned}$$

它的係數矩陣和常數向量分別是

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 6 & 5 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}.$$

所以這個系統可以寫成 $Ax = b$，其中

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

而它的增廣矩陣是

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{array} \right].$$

三種基本行變換

基本行變換共有三種：

1. 交換兩行；
2. 用一個非零純量乘一行；
3. 用一行的倍數加到另一行。

第二種操作中的「非零」非常重要。若你用 $0$ 乘一行，就會把整條方程 抹走，而不是把它等價地改寫，所以那一步不再可逆。

定義

基本行變換

對增廣矩陣可做的行變換只有以下三種：

1. $R_i \leftrightarrow R_j$，其中 $i\ne j$
2. $R_i \leftarrow \alpha R_i$，其中 $\alpha \ne 0$
3. $R_j \leftarrow \alpha R_i+R_j$，其中 $i\ne j$、$\alpha\in\mathbb R$

這三種操作稱為基本行變換。

為甚麼這些操作會保留解集

真正要緊的，不是行變換令矩陣「變得好看」；真正要緊的是它保留了解集。

定理

行等價的增廣矩陣代表等價方程組

若一個增廣矩陣可由另一個增廣矩陣經有限次基本行變換得到，則兩者所代 表的線性方程組是等價的，也就是說，它們有完全相同的解集。

證明

逐種解釋為甚麼基本行變換是安全的

每一種行變換，其實都只是方程操作的矩陣版本。

• 交換兩行，只是改變方程出現的次序。某個數組在交換前同時滿足所有方 程，交換後亦同樣同時滿足它們。
• 把一行乘上一個非零純量，等於把同一條方程左右兩邊同時乘上同一個非 零數。這會得到一條等價方程，而且可用乘上 $1 / \alpha$ 逆轉。
• 把 $R_j$ 換成 $\alpha R_i + R_j$，即是把第 $j$ 條方程改寫成 「$\alpha \times$ 第 $i$ 條方程加第 $j$ 條方程」。原系統的任何解都會滿足 新方程，而這步亦可透過把 $-\alpha$ 倍第 $i$ 行加回第 $j$ 行來逆轉。

因此，每一種基本行變換都保留解集，任何有限次組合也一樣保留解集。

可逆性保證改寫前後的方程組具有相同的解集。檢查一種操作是否合法時， 應當能明確寫出恢復原方程的逆操作。

等價需要兩個方向的證明

新方程是舊方程的推論，這只說明原來的解不會丟失，卻還沒有排除新系統多出一些解。要證明解集相同，必須證明每個新解也滿足原方程。逆操作正是補上這個方向的工具。特別是某條方程消失時，不能只看剩餘方程比較簡單，就斷言系統仍然等價。

證明透視

保留來源行，才能逆轉行替換

把第 $i$ 條方程寫成 $L_i(x)=b_i$，第 $j$ 條寫成 $L_j(x)=b_j$，其中兩個線性表達式使用相同的變量次序。取不同行 $i\ne j$ 和任意實數 $c$。保留第 $i$ 行，只把第 $j$ 行改成

$$L_j(x)+cL_i(x)=b_j+cb_i.$$

原系統的任意解滿足兩條舊等式，因此也滿足它們相加所得的新等式。反過來，若一個數組滿足新系統，它仍然滿足未被改變的 $L_i(x)=b_i$。從新方程減去這條等式的 $c$ 倍，便恢復 $L_j(x)=b_j$。其他方程完全沒有改變，所以兩個系統的解集相同。

不同的行這一條件保證來源方程仍然存在。這裡允許 $c=0$，因為被替換行自身的系數仍是一；但單獨縮放一行時，縮放因子必須非零，否則無法相除恢復舊方程。這兩種操作的限制不能混為一談。

交換兩行的逆操作是再交換一次；乘以非零數的逆操作是乘以其倒數；行替換的逆操作則使用相反的倍數。若執行了一串操作，復原時必須先撤銷最後一步，再依次向前。按原來順序執行所謂逆操作，一般不會回到正確的中間狀態。

定理

行等價是一種等價關係

固定矩陣大小後，行等價具有自反性、對稱性和傳遞性。不做任何操作便說明矩陣與自身行等價；把操作鏈逆轉可交換起點和終點；把兩條有限操作鏈接起來則得到傳遞性。因此，只要變量欄的含義保持不變，同一行等價類中的增廣矩陣代表相同的解集。

固定大小也說明行操作不會增加變量，或直接從矩陣中刪除方程。出現全零行時，仍保留這一行來記錄某條方程已經成為多餘條件。寫方程組時可以省略恆等式，但那是書寫上的簡化，不是第四種初等行操作。

把每一個行變換讀成方程操作

做行變換時，不要只想「我在表格裡改數字」。更準確的想法是：「我正用 其中一條方程去改寫另一條方程。」

例題

先讀懂消元，再背步驟

從

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{array} \right]$$

開始，做

$$R_2 \leftarrow R_2 - R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.$$

就會得到

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \end{array} \right].$$

這不是魔法，它只是表示：

• 第二條方程被換成「第二條方程減第一條方程」；
• 第三條方程被換成「第三條方程減 $2$ 倍第一條方程」。

因此，同一個系統只是被改寫成更容易看出下方零項結構的形式。問題本身 沒有變，變的只是呈現方式。

完整求解與復原檢查

例題

求解之後，回到原方程檢查

考慮

$$2x+3y=3,\qquad x-y=4.$$

固定變量次序為 $(x,y)$，先消去第一行的 $x$ 項，再縮放該行：

$$\left[\begin{array}{cc|c}2&3&3\\1&-1&4\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-2R_2} \left[\begin{array}{cc|c}0&5&-5\\1&-1&4\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1/5} \left[\begin{array}{cc|c}0&1&-1\\1&-1&4\end{array}\right].$$

第一行已經給出 $y=-1$。把它加到第二行，再交換兩行，得到

$$\left[\begin{array}{cc|c}0&1&-1\\1&-1&4\end{array}\right] \xrightarrow{R_2\leftarrow R_2+R_1} \left[\begin{array}{cc|c}0&1&-1\\1&0&3\end{array}\right] \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1&0&3\\0&1&-1\end{array}\right].$$

因此 $(x,y)=(3,-1)$。代回原方程，得到 $2(3)+3(-1)=3$ 及 $3-(-1)=4$，所以答案確實滿足兩條原方程。行操作的可逆性進一步說明沒有遺漏其他解：任意原解都必須滿足最後的兩條方程，從而就是這個數組。

還可以直接復原矩陣：先交換回去，再從第二行減去第一行，把第一行乘以五，最後把第二行的兩倍加到第一行。這樣會恢復初始矩陣的每個元素，包括常數欄。完整的復原鏈具體展示了等價的含義，而不只是算出了一個看似合理的答案。

代入檢查和等價證明承擔不同任務。前者確認一個候選數組確實是解，後者保證整個解集沒有改變。僅驗證一個數組滿足原方程，並不能證明解的唯一性；同樣，化簡結果中的數字很小，也不能保證沒有把常數欄算錯。

例題

相同系數矩陣，不同常數欄

比較以下兩個系統：

$$x+y=2,\quad 2x+2y=4 \qquad\text{與}\qquad x+y=2,\quad 2x+2y=5.$$

它們的系數矩陣完全相同。分別執行 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$：

$$\left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\2&2&4\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&0\end{array}\right], \qquad \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\2&2&5\end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c}1&1&2\\0&0&1\end{array}\right].$$

第一個系統只剩 $x+y=2$，所有解為 $(2-t,t)$，其中 $t$ 可取任意實數。全零行表示第二條方程原本就是第一條的兩倍。第二個系統卻包含矛盾 $0=1$，所以無解。即使系數部分的運算完全相同，最後一欄仍然決定了本質不同的結論。

看行變換的不變量

下面的短圖解把主要不變量放在眼前：合法行變換可以改變顯示出來的矩 陣，但必須保留解集。請特別留意常數欄；它和前面的係數同屬一批行。

看清為甚麼 [A|b] 是安全的工作形式：基本行變換是在改寫方程，同時保留解集。

1. 包裝方程組

   係數區塊和常數列被放入同一個增廣矩陣，令資料保持對齊。

2. 正確閱讀直線

   直線只是記號提示，不是一道牆。行變換作用在整行上，包括常數列。

3. 只用可逆操作

   交換兩行、用非零數乘一行、把一行倍數加到另一行，這三種操作都可以逆轉。

4. 改寫方程，不改變變量

   例如 R2 <- R2 - R1 的行替換，是把一條方程改寫成等價的方程組合。

5. 常數列也要一起變

   如果係數改了但常數列不動，矩陣就不再代表同一個方程組。

6. 追蹤不變量

   眼前矩陣會改變，但每個合法基本行變換都會保留解集。

使用增廣矩陣的理由，是基本行變換都是可逆的方程改寫。常數列屬於同一批行，因此必須跟係數區塊一起改變。

下一節會仔細處理高斯消元。此處最重要的觀念較為基礎：增廣矩陣只是同 一個系統的壓縮記錄，而行變換之所以合法，是因為它保留解集。

實際解題時的基本策略

用矩陣求解方程組，可以分成三步：

1. 先把方程組寫成增廣矩陣；
2. 用行變換把它化成較簡單的矩陣；
3. 把較簡單的矩陣重新讀成較簡單的方程組，或直接從夠簡單的形式讀出 解答。

這個策略說起來很短，但只有當你一路清楚知道每一步保留了甚麼、想建立 哪種結構時，它才會真正可靠。

用下面的互動圖去對照：每一個行變換符號，究竟對應系統的哪種受控改寫。

看似相近的捷徑為何失效

若把 $x+y=2$ 乘以零而變成 $0=0$，新方程會接受所有數組，包括原來不滿足方程的 $(0,0)$，所以等價已經失效。這不表示每個全零行都是錯誤：合法行替換也可以把原本多餘的方程化為零行。真正要問的是整個系統的資訊是否仍然保留。

兩條連續指令也必須交代使用的是哪個版本的行。例如同時把兩行都改成舊第一行與舊第二行之和，會得到兩個相同條件，可能丟失資訊。若逐步執行 $R_1\leftarrow R_1+R_2$，然後 $R_2\leftarrow R_1+R_2$，第二步使用已經更新的第一行，則兩步都是合法行替換。來源行剛剛改變時，最好寫出中間矩陣，避免把同時運算和順序運算混淆。

更一般地，把目標行改為 $aR_j+cR_i$ 時，先要求來源行與目標行不同，即 $i\ne j$；在此條件下，只要 $a\ne0$，便可分解成先縮放目標行、再加上來源行的倍數。若 $a=0$，舊目標方程就消失了。這個分解說明三類初等操作已經足夠，但並非所有行的線性組合都自動保留解集。

實際運算時，每個箭頭旁都應標明操作，變量欄保持固定順序，常數欄參與同樣的算術。若主元是 $p\ne0$，要消去下方的 $q$，便從目標行減去主元行的 $q/p$ 倍。這個倍數必須作用於整行，不能只把所選位置改成零；只有整行運算才對應合法的方程操作。

常見錯誤與細節

常見錯誤

$[A\mid b]$ 中的直線不是可以忽略的牆

最後一欄和前面的係數欄屬於同一個系統。若你只對係數做行變換而不改常 數欄，你就不再是在改寫同一個方程組。

常見錯誤

用 $0$ 乘一行不是合法步驟

合法的縮放操作要求乘數非零。用 $0$ 乘一行會抹走方程，既不可逆，也不 保證保留解集。

常見錯誤

行變換改的是方程，不是變數的意思

行變換是把方程彼此線性組合，不是「把 $x_2$ 換成別的東西」，也不是改 變未知數本身的意義。

快速檢查

思考檢查

為甚麼 $R_i \leftarrow 0R_i$ 不是合法的行變換？

請從可逆性與資料流失兩方面回答。

解答 · 答案

因為用 $0$ 乘一行會把整條方程抹走，這一步無法逆轉。既然資料被破壞， 它便不再保證保留原本的解集。

思考檢查

若只是交換兩條方程，系統的解集會改變嗎？

不要只看外觀，要想「同時滿足全部方程」這件事本身有沒有變。

解答 · 答案

不會。交換兩行只改變方程的排列次序，並不改變哪些數組同時滿足所有方 程，所以解集保持不變。

練習

思考檢查

把系統 $x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 = 1$、$x_2 + x_3 - x_4 = 2$、$x_3 + 2x_4 = 3$ 寫成增廣矩陣。

即使某條方程沒有出現某個變數，也要在該變數的欄位留出係數位置。

解答 · 引導解答

三條方程的係數分別是

$$(1, -2, -1, 1),\qquad (0, 1, 1, -1),\qquad (0, 0, 1, 2),$$

而常數欄是 $(1, 2, 3)^t$。因此增廣矩陣是

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right].$$

思考檢查

對同一個系統，用哪一個單一步驟可以消去第一條方程中的 $x_2$ 項？新的一條方程會是甚麼？

第一條方程中的 $x_2$ 係數是 $-2$，而第二條方程中的 $x_2$ 係數是 $1$。

解答 · 引導解答

可用

$$R_1 \leftarrow 2R_2 + R_1.$$

因為

$$2(x_2 + x_3 - x_4 = 2) + (x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 = 1)$$

會得到

$$x_1 + x_3 - x_4 = 5.$$

所以行變換後，第一條方程變成 $x_1 + x_3 - x_4 = 5$。

預備連結

這一頁建基於 1.1 方程與解集 和 2.1 矩陣基礎， 並為 2.3 高斯消元與 RREF 作準備。