動機
學習矩陣乘法之後，矩陣的大小與其中的數值同樣重要。在乘積中，一行係數與
一列座標承擔不同的角色；不少論證卻需要在不改變原有數據的前提下，把一種
角色轉換成另一種。轉置正是完成這種轉換的運算：行變成列，列變成行，矩陣
的大小亦隨之互換。
對方陣而言，交換兩個索引可以看成沿主對角線反射。反射後保持不變的矩陣是
對稱矩陣；反射後變成自身負矩陣的是反對稱矩陣。這些條件並非只描述外觀。
它們會約束乘積的結構，說明乘法次序為甚麼重要，並給出一種規範的方法，把
任何方陣拆成兩個結構較清楚的部分。
本節始終討論實數矩陣。所有轉置恆等式在任何域上都成立；但是，凡是需要除
以 2 2 2 a i i = − a i i a_{ii}=-a_{ii} a ii = − a ii a i i = 0 a_{ii}=0 a ii = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
轉置就是把行與列對調
定義
轉置 若 A = [ a i j ] A = [a_{ij}] A = [ a ij ] m × n m \times n m × n A T A^T A T n × m n \times m n × m ( j , i ) (j,i) ( j , i ) a i j a_{ij} a ij
也就是
( A T ) j i = a i j . (A^T)_{ji} = a_{ij}. ( A T ) ji = a ij . 所以 A A A A T A^T A T A A A A T A^T A T
轉置不會改變元素本身，只會改變每個元素所在的位置。若 A A A m × n m \times n m × n 1 1 1 m m m 1 1 1 n n n
下面的圖解先說明幾何圖像：轉置是索引交換；對方陣來說，這個索引交換就是沿主對角線反射。
轉置、對稱與反對稱 把轉置看成索引交換與對角線反射，再把這個圖像連到對稱矩陣、反對稱矩陣、乘積反序，以及對稱/反對稱分解。
索引交換
A 中的 a_ij 會出現在 A^T 的 (j,i) 位置，因此 m x n 矩陣會變成 n x m 矩陣。
對角線反射
對方陣來說，轉置會保持主對角線不動，並交換主對角線兩側的元素。
對稱規則
若 A^T = A，矩陣就是對稱矩陣；也就是每一對非對角元素滿足 a_ij = a_ji。
反對稱規則
若 A^T = -A，矩陣就是反對稱矩陣；成對元素互為相反數，而且對角元素必為零。
乘積次序
轉置會反轉乘積次序：(AB)^T = B^T A^T。次序改變，是因為行乘列配對被整個轉向。
兩部分分解
對方陣 A，1/2(A+A^T) 是對稱部分，1/2(A-A^T) 是反對稱部分，兩部分相加會回到 A。
轉置會交換兩個索引。對方陣來說，這就是沿主對角線反射：對稱矩陣讓成對元素相等，反對稱矩陣讓成對元素互為相反數，而每個方陣都可拆成對稱部分和反對稱部分。
引導式圖像比較
下面的互動區可以在幾個例子之間切換。請把 A A A A T A^T A T
邊讀邊試
比較一個矩陣與它的轉置 互動工具會把矩陣和它的轉置並排比較，並顯示對稱部分與反對稱部分如何組成。
選擇例子
對稱 反對稱 兩者都不是
分類
對角線兩側的元素互相對應，所以交換行和列後完全不變。
A^T = A
例題
計算一個轉置 設
A = [ 1 4 − 2 0 3 5 ] . A =
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 \\
0 & 3 & 5
\end{bmatrix}. A = [ 1 0 4 3 − 2 5 ] . 則
A T = [ 1 0 4 3 − 2 5 ] . A^T =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
4 & 3 \\
-2 & 5
\end{bmatrix}. A T = 1 4 − 2 0 3 5 . 原來的 2 × 3 2 \times 3 2 × 3 3 × 2 3 \times 2 3 × 2
幾條基本恆等式，應該視作本節的核心語言：
( A T ) T = A , ( A + B ) T = A T + B T , ( c A ) T = c A T . (A^T)^T = A,
\qquad
(A + B)^T = A^T + B^T,
\qquad
(cA)^T = cA^T. ( A T ) T = A , ( A + B ) T = A T + B T , ( c A ) T = c A T . 若乘積有定義，轉置會把次序反過來：
( A B ) T = B T A T . (AB)^T = B^T A^T. ( A B ) T = B T A T . 這個「反序」不是小事，而是行乘列配對被轉向之後的必然結果。
例題
轉置恆等式的例子 取
A = [ 1 2 0 1 ] , B = [ 3 0 4 5 ] . A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
\qquad
B =
\begin{bmatrix}
3 & 0 \\
4 & 5
\end{bmatrix}. A = [ 1 0 2 1 ] , B = [ 3 4 0 5 ] . 則
A + B = [ 4 2 4 6 ] , ( A + B ) T = [ 4 4 2 6 ] . A + B =
\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
4 & 6
\end{bmatrix},
\qquad
(A + B)^T =
\begin{bmatrix}
4 & 4 \\
2 & 6
\end{bmatrix}. A + B = [ 4 4 2 6 ] , ( A + B ) T = [ 4 2 4 6 ] . 另一方面，
A T + B T = [ 1 0 2 1 ] + [ 3 4 0 5 ] = [ 4 4 2 6 ] . A^T + B^T =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
3 & 4 \\
0 & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
4 & 4 \\
2 & 6
\end{bmatrix}. A T + B T = [ 1 2 0 1 ] + [ 3 0 4 5 ] = [ 4 2 4 6 ] . 乘積亦然，只是次序一定要反過來：
A B = [ 11 10 4 5 ] , ( A B ) T = [ 11 4 10 5 ] , AB =
\begin{bmatrix}
11 & 10 \\
4 & 5
\end{bmatrix},
\qquad
(AB)^T =
\begin{bmatrix}
11 & 4 \\
10 & 5
\end{bmatrix}, A B = [ 11 4 10 5 ] , ( A B ) T = [ 11 10 4 5 ] , 而
B T A T = [ 3 4 0 5 ] [ 1 0 2 1 ] = [ 11 4 10 5 ] . B^T A^T =
\begin{bmatrix}
3 & 4 \\
0 & 5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
11 & 4 \\
10 & 5
\end{bmatrix}. B T A T = [ 3 0 4 5 ] [ 1 2 0 1 ] = [ 11 10 4 5 ] . 定理
轉置的基本性質 矩陣相加時，設 A A A B B B c c c A A A m × n m \times n m × n B B B n × p n \times p n × p
( A T ) T = A (A^T)^T = A ( A T ) T = A ( A + B ) T = A T + B T (A + B)^T = A^T + B^T ( A + B ) T = A T + B T ( c A ) T = c A T (cA)^T = cA^T ( c A ) T = c A T ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T ( A B ) T = B T A T 前三項性質可以直接比較對應元素得到。乘積公式值得完整證明一次，因為它清楚
解釋了乘法次序為甚麼必須反轉。
證明
乘積轉置公式的逐元素證明 設 A = [ a i j ] A=[a_{ij}] A = [ a ij ] m × n m \times n m × n B = [ b i j ] B=[b_{ij}] B = [ b ij ] n × p n \times p n × p A B AB A B m × p m \times p m × p ( A B ) T (AB)^T ( A B ) T B T A T B^T A^T B T A T p × m p \times m p × m 1 ≤ i ≤ p 1 \le i \le p 1 ≤ i ≤ p 1 ≤ j ≤ m 1 \le j \le m 1 ≤ j ≤ m ( i , j ) (i,j) ( i , j )
( ( A B ) T ) i j = ( A B ) j i = ∑ k = 1 n a j k b k i . \bigl((AB)^T\bigr)_{ij}
=(AB)_{ji}
=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}. ( ( A B ) T ) ij = ( A B ) ji = k = 1 ∑ n a jk b ki . 另一方面，B T A T B^T A^T B T A T ( i , j ) (i,j) ( i , j )
( B T A T ) i j = ∑ k = 1 n ( B T ) i k ( A T ) k j = ∑ k = 1 n b k i a j k = ∑ k = 1 n a j k b k i . \begin{aligned}
(B^T A^T)_{ij}
&=\sum_{k=1}^{n}(B^T)_{ik}(A^T)_{kj} \\
&=\sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk} \\
&=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}.
\end{aligned} ( B T A T ) ij = k = 1 ∑ n ( B T ) ik ( A T ) kj = k = 1 ∑ n b ki a jk = k = 1 ∑ n a jk b ki . 最後一步使用的是純量乘法的交換律，並沒有假設矩陣乘法可交換。兩邊每個
對應元素都相等，所以 ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^T A^T ( A B ) T = B T A T B T B^T B T p × n p \times n p × n A T A^T A T n × m n \times m n × m A T B T A^T B^T A T B T
轉置為何不只是重新排列元素
設 A A A m × n m \times n m × n x x x R n \mathbb{R}^n R n y y y R m \mathbb{R}^m R m A x Ax A x R m \mathbb{R}^m R m y y y
( A x ) T y = x T A T y = x T ( A T y ) . (Ax)^T y=x^T A^T y=x^T(A^T y). ( A x ) T y = x T A T y = x T ( A T y ) . 第一個等號使用乘積轉置公式，第二個等號只使用結合律。因此，在內積中，原先
作用在 x x x A A A y y y A T A^T A T A T A^T A T
大小說明了兩種作用的方向：A A A n n n m m m A T A^T A T m m m n n n A T A^T A T A A A
對稱矩陣與反對稱矩陣
定義
對稱矩陣與反對稱矩陣 設 A A A
若 A T = A A^T = A A T = A A A A
若 A T = − A A^T = -A A T = − A A A A
要特別留意「方陣」這兩個字。若 A A A A A A A T A^T A T A T = A A^T = A A T = A A T = − A A^T = -A A T = − A
對稱表示沿主對角線反射後不變。反對稱表示反射後整個矩陣變號。
逐元素寫出，兩個條件分別是
A 對稱 ⟺ a i j = a j i , A 反對稱 ⟺ a i j = − a j i A\text{ 對稱}
\iff a_{ij}=a_{ji},
\qquad
A\text{ 反對稱}
\iff a_{ij}=-a_{ji} A 對稱 ⟺ a ij = a ji , A 反對稱 ⟺ a ij = − a ji 對所有索引 i , j i,j i , j A A A a i i = − a i i a_{ii}=-a_{ii} a ii = − a ii 2 a i i = 0 2a_{ii}=0 2 a ii = 0 a i i = 0 a_{ii}=0 a ii = 0 2 2 2
例題
辨認對稱性 矩陣
[ 2 − 1 4 − 1 3 0 4 0 5 ] \begin{bmatrix}
2 & -1 & 4 \\
-1 & 3 & 0 \\
4 & 0 & 5
\end{bmatrix} 2 − 1 4 − 1 3 0 4 0 5 是對稱矩陣，因為 ( i , j ) (i,j) ( i , j ) ( j , i ) (j,i) ( j , i )
矩陣
[ 0 2 − 1 − 2 0 4 1 − 4 0 ] \begin{bmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & 4 \\
1 & -4 & 0
\end{bmatrix} 0 − 2 1 2 0 − 4 − 1 4 0 是反對稱矩陣，因為轉置之後每個非對角元素都改變符號，而對角線保持 0 0 0
三個直接後果很重要：
實數反對稱矩陣的對角元素全部都是 0 0 0
零矩陣既對稱又反對稱
單位矩陣是對稱矩陣
第三項其實只是「對角矩陣在轉置下不變」的特例。
定理
兩種常用的轉置結構 對每一個方陣 A A A
( A + A T ) T = A + A T , ( A − A T ) T = − ( A − A T ) . (A + A^T)^T = A + A^T,
\qquad
(A - A^T)^T = -(A - A^T). ( A + A T ) T = A + A T , ( A − A T ) T = − ( A − A T ) . 因此 A + A T A + A^T A + A T A − A T A - A^T A − A T
證明
為甚麼成立 直接套用轉置公式：
( A + A T ) T = A T + ( A T ) T = A T + A = A + A T . (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T. ( A + A T ) T = A T + ( A T ) T = A T + A = A + A T . 至於差，
( A − A T ) T = A T − ( A T ) T = A T − A = − ( A − A T ) . (A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T). ( A − A T ) T = A T − ( A T ) T = A T − A = − ( A − A T ) . 上一個結果是最重要的結構定理的起點。
定理
分解為對稱部分與反對稱部分 每一個實數方陣 A A A
A = S + K , A = S + K, A = S + K , 其中 S S S K K K
S = 1 2 ( A + A T ) , K = 1 2 ( A − A T ) . S = \frac{1}{2}(A + A^T),
\qquad
K = \frac{1}{2}(A - A^T). S = 2 1 ( A + A T ) , K = 2 1 ( A − A T ) . 這個結論同時包含存在性與唯一性。只列出公式並不足夠，必須分別驗證兩部分。
證明
分解的存在性與唯一性 先證明存在性。定義
S = 1 2 ( A + A T ) , K = 1 2 ( A − A T ) . S=\frac12(A+A^T),
\qquad
K=\frac12(A-A^T). S = 2 1 ( A + A T ) , K = 2 1 ( A − A T ) . 由前面的轉置恆等式可知 S T = S S^T=S S T = S K T = − K K^T=-K K T = − K S S S K K K
S + K = 1 2 ( A + A T ) + 1 2 ( A − A T ) = A . S+K
=\frac12(A+A^T)+\frac12(A-A^T)
=A. S + K = 2 1 ( A + A T ) + 2 1 ( A − A T ) = A . 因此這種分解確實存在。再證明唯一性。假設某個對稱矩陣 S S S K K K A = S + K A=S+K A = S + K
A T = S T + K T = S − K . A^T=S^T+K^T=S-K. A T = S T + K T = S − K . 把 A = S + K A=S+K A = S + K A T = S − K A^T=S-K A T = S − K
A + A T = 2 S , A − A T = 2 K . A+A^T=2S,
\qquad
A-A^T=2K. A + A T = 2 S , A − A T = 2 K . 由於在實數範圍內 2 2 2
S = 1 2 ( A + A T ) , K = 1 2 ( A − A T ) . S=\frac12(A+A^T),
\qquad
K=\frac12(A-A^T). S = 2 1 ( A + A T ) , K = 2 1 ( A − A T ) . 任何分解都只能使用這兩個矩陣，唯一性因此得證。相同證明適用於任何特徵
不等於 2 2 2
例題
把矩陣分解成兩部分 設
A = [ 1 0 1 2 − 1 3 4 2 0 ] . A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
2 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 0
\end{bmatrix}. A = 1 2 4 0 − 1 2 1 3 0 . 則
A T = [ 1 2 4 0 − 1 2 1 3 0 ] . A^T =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 \\
0 & -1 & 2 \\
1 & 3 & 0
\end{bmatrix}. A T = 1 0 1 2 − 1 3 4 2 0 . 所以
1 2 ( A + A T ) = [ 1 1 5 2 1 − 1 5 2 5 2 5 2 0 ] , \frac{1}{2}(A + A^T)
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & \frac{5}{2} \\
1 & -1 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0
\end{bmatrix}, 2 1 ( A + A T ) = 1 1 2 5 1 − 1 2 5 2 5 2 5 0 , 而
1 2 ( A − A T ) = [ 0 − 1 − 3 2 1 0 1 2 3 2 − 1 2 0 ] . \frac{1}{2}(A - A^T)
=
\begin{bmatrix}
0 & -1 & -\frac{3}{2} \\
1 & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0
\end{bmatrix}. 2 1 ( A − A T ) = 0 1 2 3 − 1 0 − 2 1 − 2 3 2 1 0 . 第一個矩陣是對稱矩陣，第二個矩陣是反對稱矩陣，而二者相加正好回到 A A A
矩陣與自身的轉置相乘時，還會產生一種很有用的對稱結構。它能把矩形矩陣
轉成方陣，並分別記錄行或列之間的關係。
定理
含轉置的乘積是對稱的 只要乘積有定義，A T A A^T A A T A A A T A A^T A A T
證明
取轉置證明 若 A A A m × n m \times n m × n A T A A^T A A T A n × n n \times n n × n A A T AA^T A A T m × m m \times m m × m
( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A . (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A. ( A T A ) T = A T ( A T ) T = A T A . 對第二個乘積，
( A A T ) T = ( A T ) T A T = A A T . (AA^T)^T=(A^T)^T A^T=AA^T. ( A A T ) T = ( A T ) T A T = A A T . 兩個乘積都等於自身的轉置，因此按照定義都是對稱矩陣。
這亦是轉置在後續的正交、投影和最小二乘論證中反覆出現的原因之一。例如，
當 x x x
x T A T A x = ( A x ) T ( A x ) = ∥ A x ∥ 2 ≥ 0. x^T A^T A x=(Ax)^T(Ax)=\lVert Ax\rVert^2\ge 0. x T A T A x = ( A x ) T ( A x ) = ∥ A x ∥ 2 ≥ 0. 所以 A T A A^T A A T A A A A
可交換與不可交換的矩陣
定義
可交換矩陣 若兩個同階方陣 A A A B B B
A B = B A , AB = BA, A B = B A , 則稱它們可交換。
對加法而言，可交換性是預設；對乘法而言，可交換性卻是特例。這是矩陣代
數與純量代數最重要的差別之一。
零矩陣與單位矩陣都會與任何同大小的方陣可交換。相同大小的對角矩陣彼此
也可交換，因為它們的乘積仍是對角矩陣，而且對角元素相乘本身就交換。
轉置可以準確檢驗結構化矩陣的乘積能否保留原有結構。若 A A A B B B ( A B ) T = B A (AB)^T=BA ( A B ) T = B A A B AB A B A B = B A AB=BA A B = B A ( A B ) T = B A (AB)^T=BA ( A B ) T = B A S S S K K K ( S K ) T = − K S (SK)^T=-KS ( S K ) T = − K S S K = K S SK=KS S K = K S S K SK S K
例題
一對不可交換的矩陣 取
A = [ 1 1 0 1 ] , B = [ 1 0 1 1 ] . A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
\qquad
B =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{bmatrix}. A = [ 1 0 1 1 ] , B = [ 1 1 0 1 ] . 則
A B = [ 2 1 1 1 ] , B A = [ 1 1 1 2 ] . AB =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix},
\qquad
BA =
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}. A B = [ 2 1 1 1 ] , B A = [ 1 1 1 2 ] . 因此 A B ≠ B A AB \ne BA A B = B A
這種例子不是小插曲，而是提醒我們：矩陣恆等式裡，因子的次序絕不能亂改。
定理
反對稱矩陣的可交換測試 若 A A A B B B
A B 對稱 ⟺ A B = B A . AB \text{ 對稱 } \iff AB = BA. A B 對稱 ⟺ A B = B A . 證明
為甚麼成立 因為 A T = − A A^T = -A A T = − A B T = − B B^T = -B B T = − B
( A B ) T = B T A T = ( − B ) ( − A ) = B A . (AB)^T = B^T A^T = (-B)(-A) = BA. ( A B ) T = B T A T = ( − B ) ( − A ) = B A . 所以 A B AB A B ( A B ) T = A B (AB)^T = AB ( A B ) T = A B B A = A B BA = AB B A = A B
例題
對稱矩陣與反對稱矩陣的組合 設
S = [ 2 0 0 3 ] , K = [ 0 1 − 1 0 ] . S =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{bmatrix},
\qquad
K =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}. S = [ 2 0 0 3 ] , K = [ 0 − 1 1 0 ] . 這裡 S S S K K K
S K = [ 0 2 − 3 0 ] , K S = [ 0 3 − 2 0 ] . SK =
\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
-3 & 0
\end{bmatrix},
\qquad
KS =
\begin{bmatrix}
0 & 3 \\
-2 & 0
\end{bmatrix}. S K = [ 0 − 3 2 0 ] , K S = [ 0 − 2 3 0 ] . 若一個對稱矩陣 S S S K K K
( S K ) T = K T S T = ( − K ) S = − K S = − S K . (SK)^T = K^T S^T = (-K)S = -KS = -SK. ( S K ) T = K T S T = ( − K ) S = − K S = − S K . 常見錯誤
常見錯誤
轉置乘積時，次序一定反轉 正確公式是 ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T ( A B ) T = B T A T A T B T A^T B^T A T B T
常見錯誤
對稱不等於可交換 對稱是單一矩陣的性質，可交換是兩個矩陣之間的性質。兩者不是同一件事。
常見錯誤
零對角線不能保證矩陣反對稱 若 A T = − A A^T=-A A T = − A 0 0 0 [ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} [ 0 1 1 0 ] a i j = − a j i a_{ij}=-a_{ji} a ij = − a ji
常見錯誤
轉置不等於求逆 轉置總是存在，而且只交換兩個索引。逆矩陣只對某些方陣存在，並且必須滿足
A A − 1 = A − 1 A = I AA^{-1}=A^{-1}A=I A A − 1 = A − 1 A = I A T A^T A T A − 1 A^{-1} A − 1
總結
轉置交換矩陣的兩個索引，把 m × n m \times n m × n n × m n \times m n × m A T = A A^T=A A T = A A T = − A A^T=-A A T = − A
公式
1 2 ( A + A T ) 與 1 2 ( A − A T ) \frac12(A+A^T)
\quad\text{與}\quad
\frac12(A-A^T) 2 1 ( A + A T ) 與 2 1 ( A − A T ) 並非偶然的計算技巧。它們是由 A = S + K A=S+K A = S + K A T = S − K A^T=S-K A T = S − K A T A A^T A A T A
快速檢查
思考檢查
若 A A A 3 × 2 3 \times 2 3 × 2 A T A^T A T 解答 · 答案 A T A^T A T 2 × 3 2 \times 3 2 × 3
思考檢查
實數反對稱矩陣的對角元素必須是甚麼？ 把 A T = − A A^T = -A A T = − A
解答 · 答案 思考檢查
哪一條公式正確：( A B ) T = A T B T (AB)^T = A^T B^T ( A B ) T = A T B T ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T ( A B ) T = B T A T 比較等式兩邊的任意一個元素，或用一對不交換的方陣檢驗。
解答 · 答案 ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T ( A B ) T = B T A T
思考檢查
若 S S S K K K S T S^T S T K T K^T K T 解答 · 答案 S T = S S^T = S S T = S K T = − K K^T = -K K T = − K
引導練習
思考檢查
把 A = [ 2 1 4 3 ] A = \begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix} A = [ 2 4 1 3 ] 使用 S = 1 / 2 ( A + A T ) S = 1/2 (A + A^T) S = 1/2 ( A + A T ) K = 1 / 2 ( A − A T ) K = 1/2 (A - A^T) K = 1/2 ( A − A T )
解答 · 引導解答 先算
A T = [ 2 4 1 3 ] . A^T =
\begin{bmatrix}
2 & 4 \\
1 & 3
\end{bmatrix}. A T = [ 2 1 4 3 ] . 再算
S = 1 2 [ 4 5 5 6 ] = [ 2 5 2 5 2 3 ] , S = \frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
4 & 5 \\
5 & 6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & 3
\end{bmatrix}, S = 2 1 [ 4 5 5 6 ] = [ 2 2 5 2 5 3 ] , 以及
K = 1 2 [ 0 − 3 3 0 ] = [ 0 − 3 2 3 2 0 ] . K = \frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
0 & -3 \\
3 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} & 0
\end{bmatrix}. K = 2 1 [ 0 3 − 3 0 ] = [ 0 2 3 − 2 3 0 ] . 檢查 S S S K K K A = S + K A = S + K A = S + K
思考檢查
若 A A A B B B A B = B A AB = BA A B = B A A B AB A B 解答 · 引導解答 因為
( A B ) T = B T A T = B A = A B . (AB)^T = B^T A^T = BA = AB. ( A B ) T = B T A T = B A = A B . 所以 A B AB A B
思考檢查
若 A A A A + A T A + A^T A + A T 解答 · 引導解答 因為 ( A + A T ) T = A T + ( A T ) T = A T + A = A + A T (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T ( A + A T ) T = A T + ( A T ) T = A T + A = A + A T
思考檢查
若 A A A A − A T A - A^T A − A T 解答 · 引導解答 因為 ( A − A T ) T = A T − A = − ( A − A T ) (A - A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) ( A − A T ) T = A T − A = − ( A − A T )
相關筆記
本節建立在
3.2 矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組
之上。接著可讀
3.4 特殊矩陣 ，研究對角、三角、單位與初等矩陣家族。