2.4 解集的類型

高斯消元並不是把矩陣化簡之後便完結。做行化簡的目的，是要令化簡後的矩陣可 以直接讀出解集的結構。本節要把這種讀法說清楚。

線性系統只有三種可能的結果：

1. 剛好一個解；
2. 無限多個解；
3. 沒有解。

這個分類不是靠猜測，而是由增廣矩陣在 RREF 中的主元位置決定。

一致性的判準

第一個問題不是系統有一個解還是很多解，而是它到底有沒有解。

定理

由 RREF 判斷一致性

設 $A$ 為一個 $m \times n$ 線性系統的增廣矩陣，$B$ 為與 $A$ 行等價的 RREF。則該系統不一致，當且僅當 $B$ 的最後一欄是主元欄。

等價地說，系統不一致，當且僅當 $B$ 含有如下形式的一行：

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & \cdots & 0 & d \end{array} \right] \qquad\text{其中 } d \neq 0$$

這樣的一行代表方程

$$0 = d$$

當 $d \neq 0$ 時顯然不可能成立，所以矛盾行一出現，便立即知道系統無解。

主變量與自由變量

當一個一致的線性系統化成 RREF 之後，主元欄會告訴你哪些變量是由其他變量所 決定；沒有主元的欄，則對應可以自由選取的變量。

定義

主變量與自由變量

設某一致線性系統的增廣矩陣與一個 RREF 矩陣 $B$ 行等價。若 $B$ 的第 $j$ 欄 是主元欄，則變量 $x_j$ 稱為主變量或依變量。沒有主元的變量稱為自由 變量。

這個用語很重要，因為它告訴你最後的答案應如何寫：自由變量成為參數，主變量 則以這些參數表出。

為甚麼只有三種情況

一旦知道系統是一致的，餘下的問題便只剩下自由變量有多少個。

定理

用主元數目分類

假設一個 $m \times n$ 線性系統是一致的，且其增廣矩陣與某個有 $r$ 個主元欄 的 RREF 行等價。則 $r \leq n$。此外：

1. 若 $r = n$，系統有唯一解；
2. 若 $r \lt n$，系統有無限多解。

原因其實是結構性的：

• 若 $r = n$，每一個變量欄都有主元，因此沒有自由變量。
• 若 $r \lt n$，則 $n - r \gt 0$，至少有一個自由變量。
• 只要系統一致，而又有自由變量，那個自由變量便可取任意實數值，因此立刻產 生無限多個解。

把一致性定理與主元數目定理放在一起，便得到標準的三分法。

定理

線性系統解集的三分法

任何線性方程組的解集恰好屬於以下三類之一：

1. 唯一解；
2. 無限多解；
3. 無解。

從簡化矩陣得到全部解

分類定理中有兩個需要認真證明的環節。第一，沒有矛盾行時，系統確實存在解；第二，改變自由參數確實產生不同的解，而不是給同一個數組換一種名字。這兩個結論都來自 RREF 對主元欄與非主元欄的分離。

證明

參數表達式既窮盡全部解，也不會重複計數

設系數矩陣有 $n$ 欄，簡化後的增廣矩陣為 $[R\mid d]$，並且沒有矛盾行。主元欄編號為 $p_1,\ldots,p_r$，其餘系數欄編號為 $f_1,\ldots,f_k$，其中 $k=n-r$。每條非零行給出

$$x_{p_i}+\sum_{j=1}^{k}r_{i f_j}x_{f_j}=d_i.$$

其他主變量不會出現在這一行，因為各主元欄除了自身的主元以外都是零。因此，可以任意選擇實參數 $t_1,\ldots,t_k$，再定義

$$x_{f_j}=t_j,\qquad x_{p_i}=d_i-\sum_{j=1}^{k}r_{i f_j}t_j.$$

每組參數都給出一個解：非零行由對應公式直接滿足，其餘行都是恆等式 $0=0$。由於行化簡可逆，這個數組也滿足原系統。這證明瞭一致性判准中的充分性，不能只說矛盾行不可能出現就略過存在性的論證。

這個構造還窮盡全部解。若 $x$ 是任意一個解，讀取它的自由坐標，令 $t_j=x_{f_j}$，那麼各條主元方程便強制其餘坐標滿足上面的公式。因此，沒有任何解落在參數表達式之外。

最後，構造不會重複計數。兩組參數若不同，必定有某個 $t_j$ 不同；對應解的第 $f_j$ 個坐標就是該參數，所以兩個解也不同。這證明參數到解的映射是單射。

沒有自由變量時，主元方程確定唯一數組。有至少一個自由變量時，把其他參數固定為零，讓這一個參數遍歷實數，就由單射性得到無窮多個不同的解。本課程始終在實數範圍討論，因此這裡用到了實數有無窮多個這一事實。答案里出現參數符號本身，還不足以代替不同解的證明。

沒有主元的極端情形也包括在內。若整個增廣矩陣全零，每個實數組都是解，所有變量都是自由變量，參數映射就是恆等映射。相反，若系數矩陣全零卻有一個非零常數，系統立即無解。必須檢查完整增廣行，不能只觀察系數部分。

三個 RREF，三種讀法

化簡後的矩陣已把整個故事寫在眼前，關鍵只在於你是否知道要看甚麼。

例題

先讀矩陣，再談求解

考慮以下三個 RREF 增廣矩陣。

第一個：

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right]$$

兩個變量欄都是主元欄，所以沒有自由變量。系統有唯一解

$$x_1 = 3,\qquad x_2 = -2$$

第二個：

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

第 1 欄是主元欄，但第 2、3 欄都不是，所以 $x_2$ 與 $x_3$ 是自由變量。方 程為

$$x_1 + 2x_2 = 5$$

故

$$x_1 = 5 - 2x_2$$

因此解集可寫成

$$\{(5 - 2s,\ s,\ t) \mid s, t \in R\}$$

第三個：

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

最後一行表示 $0 = 1$，因此系統不一致，沒有解。

要養成的閱讀習慣是：

1. 先檢查有沒有矛盾行；
2. 再找主元欄；
3. 然後數自由變量；
4. 最後把主變量用自由變量寫出來。

下面的圖解把三種情況整理成決策樹：先檢查相容性，再數自由變量。 隨後的較大參數化例子也按這個次序判斷。

把定理壓縮成決策樹：先檢查最後一欄是否造成不一致，再用主元與自由變量數目判斷唯一或無限多。

1. 閱讀 RREF

   行變換保留解集，所以 RREF 可以安全閱讀。先分開變量欄與增廣欄，再找主元欄與自由欄。

2. 先看一致性

   若有一行 [0 0 ... 0 | d] 且 d 非零，它代表 0=d。等價地說，最後一欄有主元便表示系統無解。

3. 唯一解

   若系統一致，而且每個變量欄都有主元，就沒有自由變量；RREF 便直接給出唯一解向量。

4. 無限多解

   若系統一致，但有變量欄沒有主元，該自由變量便成為實參數，產生無限多個解。

5. 三個結果

   三分法是完整的：無解、唯一解、或無限多解。線性方程組不會剛好有兩個解。

6. 練習閱讀順序

   用下面的互動分類器練習同一順序：先查矛盾行，再數變量主元，最後分類解集。

分類是結構性的：矛盾行判定不一致；一旦系統一致，自由變量的數目便決定解集是一個點還是一個無限族。

一個較大的參數化例子

當系統有自由變量時，答案必須寫成完整的集合，而不能只說「有很多解」 便算。

例題

把解集完整寫出來

設某個五變量系統的 RREF 為

$$\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

第 1、3、4 欄是主元欄，所以 $x_1$、$x_3$、$x_4$ 是主變量；第 2、5 欄不 是主元欄，所以 $x_2$ 與 $x_5$ 是自由變量。

由各行可讀得

$$\begin{aligned} x_1 - x_2 + 3x_5 &= 6, \\ x_3 - 2x_5 &= 1, \\ x_4 + 4x_5 &= 9 \end{aligned}$$

令

$$x_2 = s,\qquad x_5 = t$$

則

$$\begin{aligned} x_1 &= 6 + s - 3t, \\ x_3 &= 1 + 2t, \\ x_4 &= 9 - 4t \end{aligned}$$

因此解集為

$$\{(6 + s - 3t,\ s,\ 1 + 2t,\ 9 - 4t,\ t) \mid s, t \in R\}$$

兩個自由變量便產生兩個參數，所以解集是一個二參數族。

參數表達式要經得起直接代入

例題

六個坐標中有三個不相鄰的自由變量

考慮六個未知量的 RREF：

$$\left[\begin{array}{rrrrrr|r} 1&4&0&0&2&1&4\\ 0&0&1&0&1&-3&2\\ 0&0&0&1&2&-6&1\\ 0&0&0&0&0&0&0 \end{array}\right].$$

主元編號是 $1,3,4$，自由變量編號是 $2,5,6$。令 $x_2=s$、$x_5=t$、$x_6=u$，逐行讀取後得到

$$x=(4-4s-2t-u,\ s,\ 2-t+3u,\ 1-2t+6u,\ t,\ u), \qquad s,t,u\in\mathbb R.$$

直接代入檢查：第一行變成 $(4-4s-2t-u)+4s+2t+u=4$；第二行變成 $(2-t+3u)+t-3u=2$；第三行變成 $(1-2t+6u)+2t-6u=1$。所有參數項都按要求抵消。反過來，任意解的第二、第五、第六個坐標便給出自己的參數值，其餘坐標隨後由方程唯一確定。

這比列舉幾個數值解更完整。參數全為零時得到 $(4,0,2,1,0,0)$，但它只是解集中的一個元素。完整公式同時記錄哪些選擇彼此獨立，以及這些選擇如何改變主坐標。數組必須保持原變量順序；不能未經說明就把自由坐標集中移到最後，否則表示的是另一組坐標。

前面的五坐標例子具有相同結構，只是自由參數有兩個。檢查時可以從完成的數組反過來讀取參數：第二個坐標就是第一個參數，第五個坐標就是第二個參數。這樣既看清沒有遺漏解，也看清不同參數不會描述同一數組。

當變量比方程還多時的一個推論

課堂裡經常遇到的情況，是變量數多於方程數，而系統又是一致的。

定理

變量多於方程時的一致系統

假設一個一致線性系統有 $m$ 條方程、$n$ 個變量，且 $n \gt m$。則該系統必有 無限多解。

原因是：在 RREF 中最多只會有 $m$ 個非零行，因此主元欄最多只有 $m$ 個。若 $n \gt m$，則 $n$ 個變量欄中必然至少有一欄不是主元欄，所以至少有一個自由變量。 一致性再加上自由變量，便立即推出無限多解。

這個推論不是說每個未知數較多的系統都一定有解；它只是在說，一旦這類系 統是一致的，便不可能只有唯一解。

為甚麼不能只數方程

反例模式

方程數等於未知量數，並不保證唯一解

下面三個系統都恰好有兩條方程、兩個未知量：

$$\begin{aligned} \text{I: }&x+y=2,\quad x-y=0;\\ \text{II: }&x+y=2,\quad 2x+2y=4;\\ \text{III: }&x+y=2,\quad 2x+2y=5. \end{aligned}$$

系統 I 的唯一解是 $(1,1)$。系統 II 從第二條方程減去第一條的兩倍，得到 $0=0$，所以解為 $(2-t,t)$。系統 III 做同樣運算卻得到 $0=1$，所以無解。方程數與未知量數在三個例子中完全相同，卻出現全部三種結局。

錯誤的隱含假設是每條寫出來的方程都會增加一個新的、彼此相容的限制。重複方程沒有增加限制，不相容的方程卻會排除所有候選解。主元數是在組合方程後計算真正獨立的限制，單純數矩陣行數沒有完成這項工作。 正確的判據是：實線性系統有唯一解，當且僅當系統一致，且每個變量欄都是主元欄。

增加多餘方程也不會自動破壞唯一性。系統 $x=1$、$y=2$、$x+y=3$ 有三條方程、兩個未知量，卻仍然只有一個解。若把第三條改成 $x+y=4$，系統便無解。因此，方程多於未知量的系統既可能一致，也可能不一致，兩個數目的大小關係本身不能判斷。

同樣，方程少於未知量時，只有在已經確認一致的前提下，才能推出無窮多解。三個變量的兩條方程 $x+y+z=0$ 和 $2x+2y+2z=1$ 就互相矛盾。增廣化簡後，一行的系數全部消失，常數卻不為零。再多沒有主元的變量欄，也無法彌補這個矛盾。

方程中的參數，不等於解中的自由變量

例題

先分類整個參數族，再決定是否相除

給定實數 $a,b$，考慮

$$x+y=1,\qquad 2x+ay=b.$$

這裡未知量是 $x,y$，而 $a,b$ 決定題目究竟是哪一個系統。執行合法操作 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$，得到

$$\left[\begin{array}{cc|c}1&1&1\\0&a-2&b-2\end{array}\right].$$

若 $a\ne2$，第二行給出 $y=(b-2)/(a-2)$，第一行給出 $x=1-y$，所以解唯一。若 $a=2$ 而 $b\ne2$，第二行是矛盾 $0=b-2$，所以無解。若 $a=2$ 且 $b=2$，第二行全零，全部解為 $(1-t,t)$，其中 $t$ 為任意實數。

這三個分支窮盡所有參數對。如果還沒有處理 $a=2$ 就除以 $a-2$，恰好會丟掉那些答案可能從唯一解變成無窮多解或無解的系統。最後表達式中的 $t$ 承擔不同角色：它在一個固定系統中選取不同解，而 $a,b$ 是在選擇系統本身。

兩個不同解為何必然帶來無窮多個解

還可以不用重新消元，直接從線性運算驗證三分法。設 $u,v$ 是同一個系統 $Ax=b$ 的兩個不同解。對每個實數 $t$，定義 $w(t)=u+t(v-u)$。由矩陣乘法的線性性質，

$$Aw(t)=Au+t(Av-Au)=b+t(b-b)=b.$$

所以這條直線上的每個點都是解。不同參數還會給出不同數組：若 $w(s)=w(t)$，就有 $(s-t)(v-u)=0$。由於兩解不同，差向量至少有一個非零坐標，從該坐標便得到 $s=t$。因此，實線性系統一旦有兩個不同解，就不可能恰好只有兩個、三個或其他大於一的有限個解。

這個證明與參數映射證明互相補充。參數映射構造全部解，並數清獨立選擇的個數；直線論證從兩個已知解出發，只證明無窮多個解必定存在，並沒有聲稱這條直線包含全部解。若系統有多個自由變量，完整解集可以比兩個選定解之間的直線更大。

用互動元件比較三種情況

以下分類器的價值，在於它把閱讀步驟拆清楚：先看矛盾行，再找主元，然後數剩 下多少自由變量。

常見錯誤

常見錯誤

自由變量不是『還未算完』

自由變量是系統本身的真實結構，不是計算尚未完成。它表示解集需要用參數表 示；代數工作其實已經完成，只是答案是一族向量，而不是單一點。

常見錯誤

零行不等於矛盾行

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$$

這一行不會新增任何條件，與一致性完全相容；但

$$\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

則是一條矛盾行，會令系統不一致。

快速檢查

思考檢查

行 $\left[\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 告訴你這個系統有甚麼性質？

把這一行直接讀成一條方程。

解答 · 答案

它表示 $0 = 1$，所以系統不一致，沒有解。

思考檢查

若一個四變量的一致系統有三個主元欄，它有多少個自由變量？

數一數哪一個變量欄不是主元欄。

解答 · 答案

它有 $4 - 3 = 1$ 個自由變量，因此系統有無限多解。

練習

思考檢查

判斷 RREF $\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ 的解集類型，並把解集完整寫出來。

先找自由變量，再求主變量。

解答 · 引導解答

第 1、2 欄是主元欄，而第 3 欄不是，因此 $x_3$ 是自由變量。令

$$x_3 = t$$

則兩行方程給出

$$x_1 + 2t = 4, \qquad x_2 - 3t = -1$$

因此

$$x_1 = 4 - 2t, \qquad x_2 = -1 + 3t$$

故解集為

$$\{(4 - 2t,\ -1 + 3t,\ t) \mid t \in R\}$$

思考檢查

為甚麼一致線性系統不可能剛好只有兩個解？

請用自由變量定理回答，不要只靠圖像直覺。

解答 · 引導解答

若一致系統沒有自由變量，便只有唯一解；若至少有一個自由變量，該自由變量可 以取無限多個實數值，所以系統便有無限多解。故一致系統不可能剛好只有兩個 解。

相關筆記

先讀 2.3 高斯消元與 RREF 可回顧行化簡的操作流程；再讀 2.2 增廣矩陣與行變換 可重溫增廣矩陣與初等行變換的意義。