4.2 集合語言與解集

線性代數研究的往往不是單一向量，而是一整個向量或矩陣的集合：一個方程組的 所有解、一組向量的所有線性組合、滿足某條矩陣方程的所有矩陣，或者被某個矩 陣送到零向量的所有向量。

集合語言就是精確表達這些對象的語法。若沒有它，「同一個解集」、「屬於零 空間」、「這些向量張成同一個子空間」這些說法就會太含糊，難以支撐證明。

為甚麼線性代數需要集合

做行化簡時，我們不是要保留方程的外觀，而是要保留解的集合。兩個方程 組可以看起來不同，卻有完全相同的解。

同樣地，把一組張成向量縮短時，我們不是要保留原來的列表，而是要保留由這 個列表能夠生成的向量集合。

定義

屬於

若物件 $x$ 是集合 $S$ 的元素，記作

$$x \in S.$$

若 $x$ 不是 $S$ 的元素，記作

$$x \notin S.$$

符號 $\in$ 應讀作「屬於」。它不同於子集語言。一個向量可以屬於某個集合； 一個較小的集合可以是另一個集合的子集。

所在空間

寫下一個線性代數集合之前，先確認正在收集哪一類物件。

• $\mathbb R^n$ 是所有有 $n$ 個分量的實欄向量所成的集合。
• $M_{m,n}(\mathbb R)$ 是所有實 $m \times n$ 矩陣所成的集合。
• $P_n$ 是所有次數不超過 $n$ 的實係數多項式所成的集合。

所在空間很重要。式子

$$\{x : Ax=b\}$$

若沒有說明 $x$ 的大小與類型，就不夠完整。較嚴謹的寫法是

$$\{x\in R^n : Ax=b\}.$$

冒號左邊說明物件住在哪個集合；冒號右邊說明挑選這些物件的條件。

解集

設 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，且 $b\in \mathbb R^m$。

定義

線性方程組的解集

方程 $Ax=b$ 的解集是

$$S(A,b)=\{x\in R^n : Ax=b\}.$$

因此 $t\in S(A,b)$ 有精確意思：

$$t\in R^n \qquad\text{且}\qquad At=b.$$

這個記號也能處理三種熟悉情況。

• 若方程組有唯一解 $x_0$，則 $S(A,b)=\{x_0\}$。
• 若方程組不一致，則 $S(A,b)=\varnothing$。
• 若方程組有無限多個解，則 $S(A,b)$ 通常用參數式描述。

例題

讀懂參數式解集

假設某個方程組的解可寫成

$$x= \begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad s,t\in R.$$

作為集合，這就是

$$\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} : s,t\in R \right\}.$$

固定向量是一個特解；兩個方向向量記錄了可以自由加入而仍留在解集中的方向。

零空間與張成都是集合

課程中有兩種集合構造反覆出現。

定義

零空間

對 $m \times n$ 矩陣 $A$，

$$N(A)=\{x\in R^n : Ax=0\}.$$

這就是齊次方程組 $Ax=0$ 的解集。

定義

張成

若 $u_1,\dots,u_q$ 是同一個向量空間中的向量，則

$$\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q\} = \{\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_qu_q : \alpha_1,\dots,\alpha_q\in R\}.$$

張成是一個集合，不是原來的列表。重排向量不會改變張成；加入一個本來已經 是舊向量線性組合的向量，也不會改變張成。

堆疊矩陣中的包含關係證明

證明集合包含時，先把成員關係寫成定義中的方程，再推導目標集合的條件。 把兩個係數矩陣上下堆疊，便得到這個方法的一個具體例子。

定理

堆疊矩陣的零空間包含在組合矩陣的零空間內

設 $A$ 和 $B$ 是 $p \times q$ 矩陣，並令

$$C=\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}.$$

對任意實數 $\alpha,\beta$，都有

$$N(C)\subseteq N(\alpha A+\beta B).$$

證明

由定義出發的證明

要證明 包含關係，取任意 $t\in N(C)$。由零空間定義，

$$Ct=0.$$

由於 $C$ 是把 $A$ 疊在 $B$ 上方所得的矩陣，這等同於

$$\begin{bmatrix} At \\ Bt \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

因此 $At=0$ 且 $Bt=0$。所以

$$(\alpha A+\beta B)t = \alpha At+\beta Bt = 0.$$

再次由零空間定義，$t\in N(\alpha A+\beta B)$。由於 $t\in N(C)$ 是任意 選取的，包含關係成立。

前一節證明的堆疊零空間恆等式 準確寫為 $N(C)=N(A)\cap N(B)$。因此，上面的包含關係是說，同時滿足兩條齊次方程，就必滿足它們的任意固定線性組合；它並沒有說組合後仍保留兩條獨立的要求。

例題

合併方程會丟失資料

取 $A=[1\ 0]$、$B=[0\ 1]$，堆疊矩陣是 $C=I_2$，所以 $N(C)=\{0_2\}$。但取 $\alpha=\beta=1$，則 $A+B=[1\ 1]$，從而

$$N(A+B)=\left\{\begin{bmatrix}t\\-t\end{bmatrix}:t\in\mathbb R\right\}.$$

為證明此描述，任意零空間向量都須滿足 $x_1+x_2=0$，所以令 $t=x_1$ 就得到所寫形式；反過來，代入任意這樣的向量，兩座標之和都為零。因此 $(1,-1)^T$ 屬於 $N(A+B)$，卻不屬於 $N(C)$：它在 $A,B$ 下的輸出分別是一與負一，只在相加後才互相抵消。包含是嚴格的，改寫成相等就會出錯。

正確的等式使用交集，即 $N(C)=N(A)\cap N(B)$。組合方程容許輸出相互抵消，原來兩個方程卻要求兩個輸出分別為零。一個見證向量已足以證明嚴格包含；參數計算則進一步描述了全部新增的解。

集合相等需要兩個方向

定義

集合相等

兩個集合 $S$ 與 $T$ 相等，是指每一邊的元素都屬於另一邊：

$$S=T \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x\in S \text{ if and only if } x\in T\bigr) \text{ 對所有物件 }x\text{ 成立}.$$

在證明中，這通常變成兩個包含關係：

1. 證明 $S$ 的每個元素都屬於 $T$；
2. 證明 $T$ 的每個元素都屬於 $S$。

只證明第一個方向，只能得到 $S\subseteq T$，不能得到相等。

證明透視

每個包含方向都從成員條件取得資料

證明 $S\subseteq T$ 時，先任取 $x\in S$，把成員關係翻譯成等式或係數。目標 $x\in T$ 也有自己的定義條件；論證必須把已知資料轉換成同一個向量所需滿足的條件，不能先假設結論。

對張成而言，已知資料是某組係數的存在；要證明屬於另一個張成，就應構造另一組係數。對零空間而言，已知資料是一條齊次方程；要證明屬於另一個零空間，就應檢查對應的矩陣方程。只驗證幾個數值向量，不能代替這個任意向量的步驟。

然後交換兩個集合的角色，另作反向論證。這一方向可以較短，例如為新增的生成向量補上零係數，但仍須明確寫出。兩個包含方向可以使用不同的表示方式；始終不變的是要證明屬於相應集合的那個向量。

跟着集合語言的語法，把代數條件轉成解集，再用任意元素證明子集與集合相等。

1. 屬於與子集

   x\in S 說一個物件屬於 S；S\subseteq T 則比較兩個集合。

2. 集合描述語法

   在 {x\in R^n:Ax=b} 中，R^n 指出所在空間，Ax=b 是挑選元素的條件。

3. 解集

   S(A,b)={x\in R^n:Ax=b} 是一個集合陳述；它可以是空集、單元素集合，或參數族。

4. 零空間與張成

   N(A) 由方程定義；Span{u_1,...,u_q} 由參數定義。兩者都描述整個集合。

5. 子集證明套路

   要證明 S\subseteq T，取 S 中任意元素，拆開 S 的定義，再證明它滿足 T 的條件。

6. 相等證明套路

   集合相等需要兩個包含關係。刪去張成列表中的冗餘向量，背後也是這套證明語法。

集合語言把代數條件變成精確集合：先寫所在空間，再寫條件，然後由任意元素開始證明包含關係。

同一係數矩陣的解集交集

集合語言也能清楚說明一個常用事實：若 $Ax=b$ 和 $Ax=c$ 的解集有一個共同 向量，則兩個右端向量其實必須相同。

定理

同一個 A 下，兩個有交集的解集必然相等

設 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，且 $b,c\in \mathbb R^m$。若

$$S(A,b)\cap S(A,c)\ne\varnothing,$$

則

$$S(A,b)=S(A,c).$$

證明

為何一個共同解足以迫出相等

因為交集非空，所以存在某個向量 $x_0$，使得

$$x_0\in S(A,b) \qquad\text{and}\qquad x_0\in S(A,c).$$

由解集定義，

$$Ax_0=b \qquad\text{and}\qquad Ax_0=c.$$

因此 $b=c$。但若兩個右端向量相同，兩個 defining condition 就完全一樣：

$$Ax=b \qquad\Longleftrightarrow\qquad Ax=c.$$

所以 $S(A,b)$ 的每個元素都屬於 $S(A,c)$，而 $S(A,c)$ 的每個元素亦屬於 $S(A,b)$。因此 $S(A,b)=S(A,c)$。

反過來讀也很重要：對固定矩陣 $A$，兩個一致系統 $Ax=b$ 與 $Ax=c$ 的解集 要麼不相交，要麼完全相同。它們不可能只共享一個解，卻在其他解上不同。

一個核心張成論證

下面的論證在線性代數中會不斷出現，只是常常藏在較大的計算裡。

定理

加入冗餘向量不會改變張成

若 $v$ 是 $u_1,\dots,u_q$ 的線性組合，則

$$\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q,v\} = \operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q\}.$$

證明

用集合相等證明

寫

$$v=\beta_1u_1+\cdots+\beta_qu_q.$$

令

$$S=\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q,v\}, \qquad T=\operatorname{Span}\{u_1,\dots,u_q\}.$$

先取任意 $x\in S$。則存在純量 $a_1,\dots,a_q,c$，使得

$$x=a_1u_1+\cdots+a_qu_q+cv.$$

代入 $v$ 的公式：

$$x=(a_1+c\beta_1)u_1+\cdots+(a_q+c\beta_q)u_q.$$

所以 $x\in T$。

反過來，若 $y\in T$，則

$$y=d_1u_1+\cdots+d_qu_q =d_1u_1+\cdots+d_qu_q+0v,$$

所以 $y\in S$。因此 $S=T$。

這不是某個數值例子的技巧，而是說明為甚麼從張成列表中刪去冗餘向量是合法 的。

逆命題準確識別冗餘向量

假設加入 $v$ 後張成沒有改變。向量 $v$ 一定屬於擴大的張成：把它自己的係數取一，其餘舊生成向量的係數全部取零即可。兩個張成相等，於是 $v$ 也屬於原來的張成，按定義便是舊生成向量的線性組合。這證明了逆命題，而不只是正向定理的另一個例子。

結合兩個方向可知：加入一個向量不改變張成，當且僅當舊列表已經能夠生成它。若向量在原張成之外，新張成就嚴格擴大：給新增向量係數零，說明新張成包含舊張成；新增向量本身則說明反向包含失敗。

這裏 $\operatorname{Span}(U)$ 簡記列表 $U$ 中各向量的張成，並不是把整個列表當成一個向量。

定理

多個冗餘生成向量與張成相等

設 $U=(u_1,\ldots,u_q)$ 與 $V=(v_1,\ldots,v_s)$ 是 $\mathbb R^n$ 中兩個有限非空向量列表。把 $V$ 中全部向量加入 $U$ 不改變張成，當且僅當每個 $v_j$ 都屬於 $\operatorname{Span}(U)$。此外，

$$\operatorname{Span}(U)=\operatorname{Span}(V)$$

當且僅當每個列表中的向量都可由另一個列表作線性組合得到。列表長度 $q,s$ 不必相同。

證明

從逐個加入到雙向生成

若每個 $v_j$ 都由 $U$ 生成，就逐個加入 $V$ 中的向量。第一次加入不改變張成；後續每個 $v_j$ 仍由保留在列表中的原生成向量生成，所以每一步都可再次使用單向量定理。歸納可得任意有限列表的結論。反過來，每個新增向量都屬於擴大的張成；若擴大後的張成等於舊張成，它們便都已屬於舊張成。

對第二個結論，假設兩個方向的生成關係成立。把 $V$ 加到 $U$ 不改變 $\operatorname{Span}(U)$；把 $U$ 加到 $V$ 不改變 $\operatorname{Span}(V)$。合併後的列表包含相同向量，而改變次序不影響能形成的線性組合，所以兩個張成都等於合併列表的張成。

反過來，若兩個張成相等，$U$ 的任意生成向量屬於自身張成，也就屬於 $V$ 的張成，按定義可由 $V$ 生成。交換列表可得另一個方向。這些論證都不需要線性獨立假設。

例子：證明兩個張成相等

例題

用明確係數刪去一個冗餘生成向量

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix}.$$

因為

$$v=2u_1+3u_2,$$

上面的定理給出

$$\operatorname{Span}\{u_1,u_2,v\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

直接核對兩個包含關係：較大張成中的任意向量可寫為 $au_1+bu_2+cv$。代入已驗證的關係，得到 $(a+2c)u_1+(b+3c)u_2$，屬於較小張成。反過來，$du_1+eu_2=du_1+eu_2+0v$ 屬於較大張成。舊係數為實數時，新係數也為實數，所以這些表達式對每個向量證明了雙向包含，而不只是驗證所列三個生成向量的成員關係。向量 $v$ 仍可能有計算用途，但不會擴大能夠生成的集合。

例題

兩組不同的生成向量給出同一張成

令

$$u=\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix},\quad w=\begin{bmatrix}3\\7\\11\end{bmatrix},\quad z=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}.$$

逐座標驗證可得正向關係 $w=u+v$、$z=v-u$。因此，對任意實數 $a,b$，有 $aw+bz=(a-b)u+(a+b)v$，證明了 $\operatorname{Span}(w,z)\subseteq\operatorname{Span}(u,v)$。為得到反向包含，把這兩個關係解回原生成向量：

$$u=\tfrac12w-\tfrac12z,\qquad v=\tfrac12w+\tfrac12z.$$

所以對任意實數 $c,d$，

$$cu+dv=\tfrac{c+d}{2}w+\tfrac{d-c}{2}z.$$

這就構造出另一個方向所需的係數。由任何一組生成的每個向量，都能由另一組生成，故兩個張成相等。只觀察到兩個列表都含兩個向量，並不能證明結論；真正提供依據的是明確的相互表示關係。

同樣的關係還能處理較長列表。在 $(u,v)$ 後加入 $w$、$2u$ 與 $z$ 不改變張成，因為每個新增向量都已由原來一對生成。所得五向量列表與原兩向量列表張成相同。張成相等描述的是可生成哪些向量，而不是所選列表有多長；反過來，列表等長本身也不保證張成相等。

常見錯誤

常見錯誤

混淆向量與只含該向量的集合

向量 $x_0$ 與單元素集合 $\{x_0\}$ 是不同物件。若方程組有唯一解，解是 $x_0$，但解集是 $\{x_0\}$。

常見錯誤

忘記所在空間

條件 $Ax=0$ 本身沒有說明 $x$ 是 $\mathbb R^n$ 中的向量、矩陣變量，還是其他物件。 當語境未固定時，要寫出所在集合。

常見錯誤

只證明一個包含方向

要證明 $S=T$，只證明 $S$ 的每個元素屬於 $T$ 並不足夠。還要證明 $T$ 的 每個元素也屬於 $S$。

常見錯誤

忘記共同解會固定右端向量

如果兩個系統使用同一個矩陣 $A$，而某個 $x_0$ 同時滿足 $Ax_0=b$ 和 $Ax_0=c$，則必然有 $b=c$。結論不只是兩個系統相似，而是它們有相同的右端 向量。

快速檢查

思考檢查

如果 $S(A,b)=\varnothing$，這對方程組 $Ax=b$ 表示甚麼？

把空集合翻譯回解的語言。

解答 · 答案

這表示方程組沒有解。也就是說，$Ax=b$ 不一致。

思考檢查

假設 $w=3u_1-u_2$。把 $w$ 加入列表 $\{u_1,u_2\}$ 會否改變張成？

使用冗餘向量定理。

解答 · 答案

不會。因為 $w$ 已經是 $u_1$ 與 $u_2$ 的線性組合，

$$\operatorname{Span}\{u_1,u_2,w\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

思考檢查

假設 $S(A,b)\cap S(A,c)$ 包含一個向量 $x_0$。這對 $b$ 和 $c$ 表示甚麼？

用解集成員的定義。

解答 · 答案

因為 $x_0\in S(A,b)$，所以 $Ax_0=b$。又因為 $x_0\in S(A,c)$，所以 $Ax_0=c$。因此 $b=c$，兩個解集相等。

練習

思考檢查

令 $S=\operatorname{Span}\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ 且 $T=\mathbb R^2$。證明 $S=T$。

即使其中一個方向看似明顯，也要寫出兩個包含方向。

解答 · 引導解答

首先，$S$ 的每個向量都是 $\mathbb R^2$ 中向量的線性組合，所以 $S\subseteq \mathbb R^2$。

反過來，取任意 $(a,b)\in \mathbb R^2$。則

$$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)+0(1,1),$$

所以 $(a,b)\in S$。因此 $\mathbb R^2\subseteq S$，從而 $S=T$。

練習：判斷新增向量是否改變張成

令 $u_1=(1,0,1)^T$、$u_2=(0,1,1)^T$。哪些實數 $a,b,c$ 會使加入 $w=(a,b,c)^T$ 後，$\operatorname{Span}(u_1,u_2)$ 保持不變？若張成改變，請指出一個能夠證明改變的向量。

解答 · 用冗餘逆命題作答

由已證明的等價關係，張成不變當且僅當 $w$ 已是 $u_1,u_2$ 的線性組合。而所有組合均具有形式

$$su_1+tu_2=(s,t,s+t)^T.$$

匹配前兩個座標，必須有 $s=a$、$t=b$；第三個座標便要求 $c=a+b$。條件成立時，$w=au_1+bu_2$ 明確驗證了成員關係，所以舊張成不變。條件不成立時，沒有任何係數可用舊向量對表示 $w$；但給它自身係數一，即知它屬於擴大後的張成。因此 $w$ 就是嚴格擴大的見證。

論證既檢查了表示的存在性，也證明了不存在表示時為甚麼失敗，不能只因新向量與舊生成向量的所在空間維數相同，就假設它是冗餘的。

最後要區分生成列表與基底。本節的論證只研究可以生成哪些向量，容許列表出現重複及不必要的生成向量。前面的五向量例子刪去三個生成向量後，列表改變，張成卻不變。剩下的列表是否線性獨立，是後面獨立性與基底筆記研究的另一問題。分清兩者，才不會把張成相等誤讀成係數表示唯一。

先讀這些

本節延伸 1.1 方程與解集， 並準備 6.3 線性組合與張成 中使用的集合相等論證。